初级微积分示例

$n^{3} = - 75$ , $n^{6} = - 9375$

解题步骤 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$n = \sqrt[3]{- 75}$

$n^{6} = - 9375$

解题步骤 2

化简 $\sqrt[3]{- 75}$ 。

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解题步骤 2.1

将 $- 75$ 重写为 ${(- 1)}^{3} \cdot 75$ 。

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解题步骤 2.1.1

将 $- 75$ 重写为 $- 1 (75)$ 。

$n = \sqrt[3]{- 1 \cdot 75}$

$n^{6} = - 9375$

解题步骤 2.1.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$n = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 75}$

$n^{6} = - 9375$

$n = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 75}$

$n^{6} = - 9375$

解题步骤 2.2

从根式下提出各项。

$n = - 1 \sqrt[3]{75}$

$n^{6} = - 9375$

解题步骤 2.3

将 $- 1 \sqrt[3]{75}$ 重写为 $- \sqrt[3]{75}$ 。

$n = - \sqrt[3]{75}$

$n^{6} = - 9375$

$n = - \sqrt[3]{75}$

$n^{6} = - 9375$

解题步骤 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$n = \pm \sqrt[6]{- 9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

解题步骤 4

化简 $\pm \sqrt[6]{- 9375}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $- 9375$ 重写为 $i^{6} \cdot 9375$ 。

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解题步骤 4.1.1

将 $- 9375$ 重写为 $- 1 (9375)$ 。

$n = \pm \sqrt[6]{- 1 \cdot 9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 1$ 重写为 $i^{6}$ 。

$n = \pm \sqrt[6]{i^{6} \cdot 9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

$n = \pm \sqrt[6]{i^{6} \cdot 9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

解题步骤 4.2

从根式下提出各项。

$n = \pm i \sqrt[6]{9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

$n = \pm i \sqrt[6]{9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

解题步骤 5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$n = i \sqrt[6]{9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

解题步骤 5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$n = - i \sqrt[6]{9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

解题步骤 5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$n = i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

$n = i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

解题步骤 6

因为方程的根就是解为 $0$ 的点，所以使每一个根成为等于 $0$ 的方程的因数。

$(n - (- \sqrt[3]{75})) (n - (i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375})) (n - (- i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375})) = 0$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $n + \sqrt[3]{75}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$((n + \sqrt[3]{75}) (n - i \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 7.2.1

使用 FOIL 方法展开 $(n + \sqrt[3]{75}) (n - i \sqrt[6]{9375})$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

运用分配律。

$(n (n - i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} (n - i \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.1.2

运用分配律。

$(n \cdot n + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} (n - i \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.1.3

运用分配律。

$(n \cdot n + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n + \sqrt[3]{75} (- i \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $n$ 乘以 $n$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n + \sqrt[3]{75} (- i \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.2.2

乘以 $\sqrt[3]{75} (- i \sqrt[6]{9375})$ 。

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解题步骤 7.2.2.2.1

使用 $6$ 的最小常见指标重写表达式。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{75}$ 重写成 $75^{\frac{1}{3}}$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (75^{\frac{1}{3}} \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

将 $75^{\frac{1}{3}}$ 重写为 $75^{\frac{2}{6}}$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (75^{\frac{2}{6}} \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.2.2.1.3

将 $75^{\frac{2}{6}}$ 重写为 $\sqrt[6]{75^{2}}$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (\sqrt[6]{75^{2}} \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.2.2.2

使用根数乘积法则进行合并。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i \sqrt[6]{75^{2} \cdot 9375}, (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.2.2.3

对 $75$ 进行 $2$ 次方运算。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i \sqrt[6]{5625 \cdot 9375}, (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.2.2.4

将 $5625$ 乘以 $9375$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i \sqrt[6]{52734375}, (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.2.3

将 $52734375$ 重写为 $5^{6} \cdot 3375$ 。

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解题步骤 7.2.2.3.1

从 $52734375$ 中分解出因数 $15625$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i \sqrt[6]{15625 (3375)}, (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.2.3.2

将 $15625$ 重写为 $5^{6}$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i \sqrt[6]{5^{6} \cdot 3375}, (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.2.4

从根式下提出各项。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (5 \sqrt[6]{3375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.2.5

将 $3375$ 重写为 $15^{3}$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (5 \sqrt[6]{15^{3}}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.2.6

将 $\sqrt[6]{15^{3}}$ 重写为 $\sqrt{\sqrt[3]{15^{3}}}$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (5 \sqrt{\sqrt[3]{15^{3}}}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.2.7

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (5 \sqrt{15}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.2.8

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.3

运用分配律。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.4

乘以 $\sqrt[3]{75} (- i \sqrt[6]{9375})$ 。

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解题步骤 7.2.4.1

使用 $6$ 的最小常见指标重写表达式。

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解题步骤 7.2.4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{75}$ 重写成 $75^{\frac{1}{3}}$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (75^{\frac{1}{3}} \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.4.1.2

将 $75^{\frac{1}{3}}$ 重写为 $75^{\frac{2}{6}}$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (75^{\frac{2}{6}} \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.4.1.3

将 $75^{\frac{2}{6}}$ 重写为 $\sqrt[6]{75^{2}}$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (\sqrt[6]{75^{2}} \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.4.2

使用根数乘积法则进行合并。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i \sqrt[6]{75^{2} \cdot 9375}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.4.3

对 $75$ 进行 $2$ 次方运算。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i \sqrt[6]{5625 \cdot 9375}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.4.4

将 $5625$ 乘以 $9375$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i \sqrt[6]{52734375}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.5

化简每一项。

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解题步骤 7.2.5.1

将 $52734375$ 重写为 $5^{6} \cdot 3375$ 。

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解题步骤 7.2.5.1.1

从 $52734375$ 中分解出因数 $15625$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i \sqrt[6]{15625 (3375)}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.5.1.2

将 $15625$ 重写为 $5^{6}$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i \sqrt[6]{5^{6} \cdot 3375}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.5.2

从根式下提出各项。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (5 \sqrt[6]{3375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.5.3

将 $3375$ 重写为 $15^{3}$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (5 \sqrt[6]{15^{3}})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.5.4

将 $\sqrt[6]{15^{3}}$ 重写为 $\sqrt{\sqrt[3]{15^{3}}}$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (5 \sqrt{\sqrt[3]{15^{3}}})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.5.5

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (5 \sqrt{15})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.5.6

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - 5 i \sqrt{15}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

解题步骤 7.2.6

将 $n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - 5 i \sqrt{15}$ 中的因式重新排序。

$(n^{2} - n i \sqrt[6]{9375} + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, - n i \sqrt[6]{9375} - 5 i \sqrt{15}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

初级微积分 示例

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