初级微积分示例

$\tan (x) = \frac{1}{2}$ , $\sin (x) = x$

Step 1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (\frac{1}{2})$

Step 2

化简右边。

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计算 $\arctan (\frac{1}{2})$ 。

$x = 0.4636476$

Step 3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Step 4

求解 $x$ 。

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去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

将 $3.14159265$ 和 $0.4636476$ 相加。

$x = 3.60524026$

Step 5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

Step 6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 7

将 $0.4636476 + π n$ 和 $3.60524026 + π n$ 合并为 $0.4636476 + π n$ 。

$x = 0.4636476 + π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 8

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $0.4636476 + π n$ 。

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使用 $0.4636476 + π n$ 替换 $\sin (x) = x$ 中所有出现的 $x$ .

$\sin (0.4636476 + π n) = 0.4636476 + π n$

$x = 0.4636476 + π n$

化简左边。

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去掉圆括号。

$\sin (0.4636476 + π n) = 0.4636476 + π n$

$x = 0.4636476 + π n$

$\sin (0.4636476 + π n) = 0.4636476 + π n$

$x = 0.4636476 + π n$

$\sin (0.4636476 + π n) = 0.4636476 + π n$

$x = 0.4636476 + π n$

Step 9

求解 $π$ 的方程。

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从等式两边同时减去 $\sin (0.4636476 + π n)$ 。

$0 = 0.4636476 + π n - \sin (0.4636476 + π n)$

$x = 0.4636476 + π n$

将方程重写为 $0.4636476 + π n - \sin (0.4636476 + π n) = 0$ 。

$0.4636476 + π n - \sin (0.4636476 + π n) = 0$

$x = 0.4636476 + π n$

$0.4636476 + π n - \sin (0.4636476 + π n) = 0$

$x = 0.4636476 + π n$

Step 10

求解 $x$ 的方程。

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将 $0$ 乘以 $n$ 。

$x = 0.4636476 + 0 \cdot n$

$0.4636476 + π n - \sin (0.4636476 + π n) = 0$

化简 $0.4636476 + 0 \cdot n$ 。

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将 $0$ 乘以 $n$ 。

$x = 0.4636476 + 0$

$0.4636476 + π n - \sin (0.4636476 + π n) = 0$

将 $0.4636476$ 和 $0$ 相加。

$x = 0.4636476$

$0.4636476 + π n - \sin (0.4636476 + π n) = 0$

$x = 0.4636476$

$0.4636476 + π n - \sin (0.4636476 + π n) = 0$

$x = 0.4636476$

$0.4636476 + π n - \sin (0.4636476 + π n) = 0$

Step 11

求解 $n$ 的方程。

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化简左边。

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化简 $\sin (0.4636476 + 0 \cdot n)$ 。

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重写。

$0 + 0 + \sin (0.4636476 + 0 \cdot n) = 0.4636476 + 0 \cdot n$

$x = 0.4636476$

通过加上各个零进行化简。

$\sin (0.4636476 + 0 \cdot n) = 0.4636476 + 0 \cdot n$

$x = 0.4636476$

将 $0$ 乘以 $n$ 。

$\sin (0.4636476 + 0) = 0.4636476 + 0 \cdot n$

$x = 0.4636476$

将 $0.4636476$ 和 $0$ 相加。

$\sin (0.4636476) = 0.4636476 + 0 \cdot n$

$x = 0.4636476$

$\sin (0.4636476) = 0.4636476 + 0 \cdot n$

$x = 0.4636476$

$\sin (0.4636476) = 0.4636476 + 0 \cdot n$

$x = 0.4636476$

化简右边。

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化简 $0.4636476 + 0 \cdot n$ 。

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将 $0$ 乘以 $n$ 。

$\sin (0.4636476) = 0.4636476 + 0$

$x = 0.4636476$

将 $0.4636476$ 和 $0$ 相加。

$\sin (0.4636476) = 0.4636476$

$x = 0.4636476$

$\sin (0.4636476) = 0.4636476$

$x = 0.4636476$

$\sin (0.4636476) = 0.4636476$

$x = 0.4636476$

因为 $\sin (0.4636476) \neq 0.4636476$ ，所以没有解。

无解

$x = 0.4636476$

无解

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