初级微积分示例

$a x + b y = 0$ , $a^{2} x + b^{2} y = 1$

Step 1

求解 $x$ 的方程。

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从等式两边同时减去 $b y$ 。

$a x = - b y$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

将 $a x = - b y$ 中的每一项除以 $a$ 并化简。

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将 $a x = - b y$ 中的每一项都除以 $a$ 。

$\frac{a x}{a} = \frac{- b y}{a}$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

化简左边。

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约去 $a$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{a x}{a} = \frac{- b y}{a}$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- b y}{a}$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

$x = \frac{- b y}{a}$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

$x = \frac{- b y}{a}$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

化简右边。

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将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{b y}{a}$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

$x = - \frac{b y}{a}$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

$x = - \frac{b y}{a}$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

$x = - \frac{b y}{a}$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

Step 2

求解 $b$ 的方程。

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化简每一项。

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使用乘法的交换性质重写。

$- a^{2} \frac{b y}{a} + b^{2} y = 1$

$x = - \frac{b y}{a}$

约去 $a$ 的公因数。

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从 $- a^{2}$ 中分解出因数 $a$ 。

$a (- a) (\frac{b y}{a}) + b^{2} y = 1$

$x = - \frac{b y}{a}$

约去公因数。

$a (- a) (\frac{b y}{a}) + b^{2} y = 1$

$x = - \frac{b y}{a}$

重写表达式。

$- a (b y) + b^{2} y = 1$

$x = - \frac{b y}{a}$

$- a b y + b^{2} y = 1$

$x = - \frac{b y}{a}$

$- a b y + b^{2} y = 1$

$x = - \frac{b y}{a}$

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- a b y + b^{2} y - 1 = 0$

$x = - \frac{b y}{a}$

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = - \frac{b y}{a}$

将 $a = y$ 、 $b = - a y$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $b$ 。

$\frac{a y \pm \sqrt{{(- a y)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot - 1)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

化简分子。

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使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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对 $- a y$ 运用乘积法则。

$b = \frac{a y \pm \sqrt{{(- a)}^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

对 $- a$ 运用乘积法则。

$b = \frac{a y \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} a^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

$b = \frac{a y \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} a^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$b = \frac{a y \pm \sqrt{1 a^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

将 $a^{2}$ 乘以 $1$ 。

$b = \frac{a y \pm \sqrt{a^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$b = \frac{a y \pm \sqrt{a^{2} y^{2} + 4 y}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

从 $a^{2} y^{2} + 4 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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从 $a^{2} y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y) + 4 y}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

从 $4 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y) + y \cdot 4}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

从 $y (a^{2} y) + y \cdot 4$ 中分解出因数 $y$ 。

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$b = \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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化简分子。

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使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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对 $- a y$ 运用乘积法则。

$b = \frac{a y \pm \sqrt{{(- a)}^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

对 $- a$ 运用乘积法则。

$b = \frac{a y \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} a^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

$b = \frac{a y \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} a^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$b = \frac{a y \pm \sqrt{1 a^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

将 $a^{2}$ 乘以 $1$ 。

$b = \frac{a y \pm \sqrt{a^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$b = \frac{a y \pm \sqrt{a^{2} y^{2} + 4 y}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

从 $a^{2} y^{2} + 4 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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从 $a^{2} y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y) + 4 y}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

从 $4 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y) + y \cdot 4}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

从 $y (a^{2} y) + y \cdot 4$ 中分解出因数 $y$ 。

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$b = \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

$b = \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

最终答案为两个解的组合。

$b = \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$b = \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

$b = \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$b = \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Step 3

化简右边。

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将 $2$ 乘以 $0$ 。

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

$a (- (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) \cdot \frac{y}{a}) + (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) \cdot y = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}, \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

Step 4

该化简方程组是原方程组的任意解。

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

Step 5

化简左边。

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化简 $a (- (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) \cdot \frac{y}{a}) + (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) \cdot y$ 。

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化简每一项。

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使用乘法的交换性质重写。

$- a (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y (\frac{y}{a})}) + (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) \cdot y = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

组合 $\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$ 和 $\frac{y}{a}$ 。

$- a \frac{(\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y})}{a} + (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) \cdot y = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

约去 $a$ 的公因数。

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从 $- a$ 中分解出因数 $a$ 。

$a \cdot (- 1 \frac{(\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y})}{a}) + (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) \cdot y = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

约去公因数。

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

重写表达式。

$- (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y}) + (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) \cdot y = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

$- \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y} + (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) y = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

$- \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y} + (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) y = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

将 $- \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y} y$ 和 $(\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) y$ 重新排序。

$(\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) y - \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y} = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

$(\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) y - \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y} = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

$(\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) y - \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y} = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}, \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

Step 6

化简右边。

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将 $2$ 乘以 $0$ 。

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$(\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) y - \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y} = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}, \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$(\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) y - \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y} = 0$

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