初级微积分示例

$y > 4^{x}$ , $y < 8 - x^{2}$ , $x + y > 0$

解题步骤 1

化简第一个不等式。

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解题步骤 1.1

重写为 $x$ 在不等式左边的形式。

$4^{x} < y$ 和 $y < 8 - x^{2}$

解题步骤 1.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (4^{x}) < \ln (y)$ 和 $y < 8 - x^{2}$

解题步骤 1.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (4^{x})$ 。

$x \ln (4) < \ln (y)$ 和 $y < 8 - x^{2}$

解题步骤 1.4

将 $x \ln (4) < \ln (y)$ 中的每一项除以 $\ln (4)$ 并化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $x \ln (4) < \ln (y)$ 中的每一项都除以 $\ln (4)$ 。

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $y < 8 - x^{2}$

解题步骤 1.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.2.1

约去 $\ln (4)$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $y < 8 - x^{2}$

解题步骤 1.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $y < 8 - x^{2}$

解题步骤 2

化简第二个不等式。

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解题步骤 2.1

重写为 $x$ 在不等式左边的形式。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $8 - x^{2} > y$

解题步骤 2.2

从不等式两边同时减去 $8$ 。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $- x^{2} > y - 8$

解题步骤 2.3

将 $- x^{2} > y - 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $- x^{2} > y - 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $\frac{- x^{2}}{- 1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $\frac{x^{2}}{1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.3.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $x^{2} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.3.1.1

移动 $\frac{y}{- 1}$ 中分母的负号。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $x^{2} < - 1 \cdot y + \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.3.3.1.2

将 $- 1 \cdot y$ 重写为 $- y$ 。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $x^{2} < - y + \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.3.3.1.3

用 $- 8$ 除以 $- 1$ 。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $x^{2} < - y + 8$

解题步骤 2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $\sqrt{x^{2}} < \sqrt{- y + 8}$

解题步骤 2.5

化简左边。

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解题步骤 2.5.1

从根式下提出各项。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $| x | < \sqrt{- y + 8}$

解题步骤 2.6

将 $| x | < \sqrt{- y + 8}$ 书写为分段式。

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解题步骤 2.6.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 2.6.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x < \sqrt{- y + 8}$

解题步骤 2.6.3

求 $x < \sqrt{- y + 8}$ 的定义域，并求与 $x \geq 0$ 的交点。

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解题步骤 2.6.3.1

求 $x < \sqrt{- y + 8}$ 的定义域。

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解题步骤 2.6.3.1.1

将 $\sqrt{- y + 8}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$- y + 8 \geq 0$

解题步骤 2.6.3.1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.2.1

从不等式两边同时减去 $8$ 。

$- y \geq - 8$

解题步骤 2.6.3.1.2.2

将 $- y \geq - 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.6.3.1.2.2.1

将 $- y \geq - 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.6.3.1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.3.1.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.6.3.1.2.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.6.3.1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.3.1.2.2.3.1

用 $- 8$ 除以 $- 1$ 。

$y \leq 8$

解题步骤 2.6.3.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, 8]$

解题步骤 2.6.3.2

求 $x \geq 0$ 和 $(- \infty, 8]$ 的交点。

$0 \leq x \leq 8$

解题步骤 2.6.4

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 2.6.5

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x < \sqrt{- y + 8}$

解题步骤 2.6.6

求 $- x < \sqrt{- y + 8}$ 的定义域，并求与 $x < 0$ 的交点。

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解题步骤 2.6.6.1

求 $- x < \sqrt{- y + 8}$ 的定义域。

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解题步骤 2.6.6.1.1

将 $\sqrt{- y + 8}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$- y + 8 \geq 0$

解题步骤 2.6.6.1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.6.1.2.1

从不等式两边同时减去 $8$ 。

$- y \geq - 8$

解题步骤 2.6.6.1.2.2

将 $- y \geq - 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.6.6.1.2.2.1

将 $- y \geq - 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.6.6.1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.6.1.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.6.6.1.2.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.6.6.1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.6.1.2.2.3.1

用 $- 8$ 除以 $- 1$ 。

$y \leq 8$

解题步骤 2.6.6.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, 8]$

解题步骤 2.6.6.2

求 $x < 0$ 和 $(- \infty, 8]$ 的交点。

$x < 0$

解题步骤 2.6.7

书写为分段式。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 ${\begin{cases} x < \sqrt{- y + 8} & 0 \leq x \leq 8 \\ - x < \sqrt{- y + 8} & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.7

当 $0 \leq x \leq 8$ 时求解 $x < \sqrt{- y + 8}$ 。

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解题步骤 2.7.1

求解 $y$ 的 $x < \sqrt{- y + 8}$ 。

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解题步骤 2.7.1.1

重写为 $y$ 在不等式左边的形式。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $\sqrt{- y + 8} > x$

解题步骤 2.7.1.2

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > x^{2}$

解题步骤 2.7.1.3

化简不等式的两边。

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解题步骤 2.7.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{- y + 8}$ 重写成 ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > x^{2}$

解题步骤 2.7.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.7.1.3.2.1

化简 ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.7.1.3.2.1.1

将 ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.7.1.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

解题步骤 2.7.1.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.1.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

解题步骤 2.7.1.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $- y + 8 > x^{2}$

解题步骤 2.7.1.3.2.1.2

化简。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $- y + 8 > x^{2}$

解题步骤 2.7.1.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.7.1.4.1

从不等式两边同时减去 $8$ 。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $- y > x^{2} - 8$

解题步骤 2.7.1.4.2

将 $- y > x^{2} - 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.7.1.4.2.1

将 $- y > x^{2} - 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.7.1.4.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.4.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.7.1.4.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.1.4.2.3.1.1

移动 $\frac{x^{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.4.2.3.1.2

将 $- 1 \cdot x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.4.2.3.1.3

用 $- 8$ 除以 $- 1$ 。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $y < - x^{2} + 8$

解题步骤 2.7.2

求 $y < - x^{2} + 8$ 和 $0 \leq x \leq 8$ 的交点。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $0 \leq x \leq N o$ Minimum

解题步骤 2.8

当 $x < 0$ 时求解 $- x < \sqrt{- y + 8}$ 。

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解题步骤 2.8.1

求解 $y$ 的 $- x < \sqrt{- y + 8}$ 。

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解题步骤 2.8.1.1

重写为 $y$ 在不等式左边的形式。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $\sqrt{- y + 8} > - x$

解题步骤 2.8.1.2

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > {(- x)}^{2}$

解题步骤 2.8.1.3

化简不等式的两边。

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解题步骤 2.8.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{- y + 8}$ 重写成 ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- x)}^{2}$

解题步骤 2.8.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.8.1.3.2.1

化简 ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.8.1.3.2.1.1

将 ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.8.1.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

解题步骤 2.8.1.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.1.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

解题步骤 2.8.1.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

解题步骤 2.8.1.3.2.1.2

化简。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

解题步骤 2.8.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.8.1.3.3.1

化简 ${(- x)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.8.1.3.3.1.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $- y + 8 > {(- 1)}^{2} x^{2}$

解题步骤 2.8.1.3.3.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $- y + 8 > 1 x^{2}$

解题步骤 2.8.1.3.3.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $- y + 8 > x^{2}$

解题步骤 2.8.1.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.8.1.4.1

从不等式两边同时减去 $8$ 。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $- y > x^{2} - 8$

解题步骤 2.8.1.4.2

将 $- y > x^{2} - 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.8.1.4.2.1

将 $- y > x^{2} - 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.8.1.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.8.1.4.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.8.1.4.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.8.1.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.8.1.4.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1.4.2.3.1.1

移动 $\frac{x^{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.8.1.4.2.3.1.2

将 $- 1 \cdot x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 2.8.1.4.2.3.1.3

用 $- 8$ 除以 $- 1$ 。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ 和 $y < - x^{2} + 8$

解题步骤 2.8.2

求 $y < - x^{2} + 8$ 和 $x < 0$ 的交点。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Minimum

解题步骤 2.9

求解的并集。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Maximum

解题步骤 3

初级微积分 示例

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