初级微积分示例

$x = 2 t - 1$ , $y = t^{3}$

解题步骤 1

建立 $x (t)$ 的参数方程以求解 $t$ 方程。

$x = 2 t - 1$

解题步骤 2

将方程重写为 $2 t - 1 = x$ 。

$2 t - 1 = x$

解题步骤 3

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 t = x + 1$

解题步骤 4

将 $2 t = x + 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $2 t = x + 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 t}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 t}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 5

将方程中的 $t$ 替换为 $y$ ，以得出 $x$ 形式的方程。

$y = {(\frac{x}{2} + \frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6

化简 ${(\frac{x}{2} + \frac{1}{2})}^{3}$ 。

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解题步骤 6.1

使用二项式定理。

$y = {(\frac{x}{2})}^{3} + 3 {(\frac{x}{2})}^{2} \frac{1}{2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1

对 $\frac{x}{2}$ 运用乘积法则。

$y = \frac{x^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{x}{2})}^{2} \frac{1}{2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6.2.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = \frac{x^{3}}{8} + 3 {(\frac{x}{2})}^{2} \frac{1}{2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6.2.3

对 $\frac{x}{2}$ 运用乘积法则。

$y = \frac{x^{3}}{8} + 3 \frac{x^{2}}{2^{2}} \frac{1}{2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6.2.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{x^{3}}{8} + 3 \frac{x^{2}}{4} \frac{1}{2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6.2.5

组合 $3$ 和 $\frac{x^{2}}{4}$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6.2.6

合并。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} \cdot 1}{4 \cdot 2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6.2.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{4 \cdot 2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6.2.8

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6.2.9

组合 $3$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6.2.10

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{2} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6.2.11

合并。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6.2.12

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.12.1

将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.12.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6.2.12.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1^{2}}{2^{1 + 2}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6.2.12.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1^{2}}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6.2.13

化简分子。

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解题步骤 6.2.13.1

一的任意次幂都为一。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6.2.13.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6.2.14

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 6.2.15

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} + \frac{1^{3}}{2^{3}}$

解题步骤 6.2.16

一的任意次幂都为一。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} + \frac{1}{2^{3}}$

解题步骤 6.2.17

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} + \frac{1}{8}$

初级微积分 示例

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