初级微积分示例

$x = t^{2} + t$ , $y = 2 t - t$

解题步骤 1

建立 $x (t)$ 的参数方程以求解 $t$ 方程。

$x = t^{2} + t$

解题步骤 2

将方程重写为 $t^{2} + t = x$ 。

$t^{2} + t = x$

解题步骤 3

从等式两边同时减去 $x$ 。

$t^{2} + t - x = 0$

解题步骤 4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5

将 $a = 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = - x$ 的值代入二次公式中并求解 $t$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

一的任意次幂都为一。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

解题步骤 7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

一的任意次幂都为一。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

解题步骤 7.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$t = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

解题步骤 7.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$t = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

解题步骤 7.5

从 $\sqrt{1 + 4 x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

解题步骤 7.6

从 $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$t = \frac{- 1 (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

解题步骤 7.7

将负号移到分数的前面。

$t = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

解题步骤 8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

一的任意次幂都为一。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

解题步骤 8.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$t = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

解题步骤 8.4

从 $- 1 - \sqrt{1 + 4 x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 8.4.1

将 $1$ 和 $4 x$ 重新排序。

$t = \frac{- 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 8.4.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 8.4.3

从 $- \sqrt{4 x + 1}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{4 x + 1})}{2}$

解题步骤 8.4.4

从 $- 1 (1) - (\sqrt{4 x + 1})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$t = \frac{- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

解题步骤 8.4.5

将 $- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})$ 重写为 $- (1 + \sqrt{4 x + 1})$ 。

$t = \frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

解题步骤 8.5

将负号移到分数的前面。

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 9

最终答案为两个解的组合。

$t = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 10

将方程中的 $t$ 替换为 $y$ ，以得出 $x$ 形式的方程。

$y = 2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}) - (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})$

解题步骤 11

将 $- 1$ 乘以 $- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ 。

$y = 2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12

化简 $2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ 。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

将 $2$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$y = (2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 12.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.2.1.1

将 $- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y = (2 (\frac{- (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.1.2.1.2

约去公因数。

$y = (2 \frac{- (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.1.2.1.3

重写表达式。

$y = (- (1 - \sqrt{1 + 4 x}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- (1 - \sqrt{1 + 4 x}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.1.2.2

运用分配律。

$y = (- 1 \cdot 1 - - \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = (- 1 - - \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.1.2.4

乘以 $- - \sqrt{1 + 4 x}$ 。

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解题步骤 12.1.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = (- 1 + 1 \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.1.2.4.2

将 $\sqrt{1 + 4 x}$ 乘以 $1$ 。

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.1.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.2.5.1

将 $- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 (\frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.1.2.5.2

约去公因数。

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 \frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.1.2.5.3

重写表达式。

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - (1 + \sqrt{4 x + 1})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - (1 + \sqrt{4 x + 1})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.1.2.6

运用分配律。

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.1.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.2

要将 $(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.3

化简项。

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解题步骤 12.3.1

组合 $(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot 2}{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.3.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot 2 + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot 2 + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.4

化简分子。

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解题步骤 12.4.1

将 $2$ 移到 $(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1})$ 的左侧。

$y = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.4.2

将 $2$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$y = \frac{(2 (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}), 2 (- 1 - \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.4.3

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 12.4.3.1

运用分配律。

$y = \frac{(2 \cdot - 1 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- 1 - \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.4.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- 1 - \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.4.3.3

运用分配律。

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, 2 \cdot - 1 + 2 (- \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.4.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 + 2 (- \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

解题步骤 12.4.3.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

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