初级微积分示例

$x = 4 \sqrt{4 - t^{2}}$ , $y = 3 (1 - \sqrt{4 - t^{2}})$

解题步骤 1

建立 $x (t)$ 的参数方程以求解 $t$ 方程。

$x = 4 \sqrt{4 - t^{2}}$

解题步骤 2

将方程重写为 $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ 。

$4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$

解题步骤 3

将 $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 \sqrt{4 - t^{2}}}{4} = \frac{x}{4}$

解题步骤 3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \sqrt{4 - t^{2}}}{4} = \frac{x}{4}$

解题步骤 3.2.1.1.2

用 $\sqrt{4 - t^{2}}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{4 - t^{2}} = \frac{x}{4}$

解题步骤 3.2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{2^{2} - t^{2}} = \frac{x}{4}$

解题步骤 3.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = t$ 。

$\sqrt{(2 + t) (2 - t)} = \frac{x}{4}$

解题步骤 4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{(2 + t) (2 - t)}}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

解题步骤 5

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(2 + t) (2 - t)}$ 重写成 ${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简 ${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

将 ${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1.2.1

约去公因数。

${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.2.2

重写表达式。

${((2 + t) (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 + t) (2 - t)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.2.1

运用分配律。

${(2 (2 - t) + t (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2.2

运用分配律。

${(2 \cdot 2 + 2 (- t) + t (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2.3

运用分配律。

${(2 \cdot 2 + 2 (- t) + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.3.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(4 + 2 (- t) + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

${(4 - 2 t + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.1.3

将 $2$ 移到 $t$ 的左侧。

${(4 - 2 t + 2 \cdot t + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

${(4 - 2 t + 2 t - t \cdot t)}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.1.5

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.3.1.5.1

移动 $t$ 。

${(4 - 2 t + 2 t - (t \cdot t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.1.5.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

${(4 - 2 t + 2 t - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.2

将 $- 2 t$ 和 $2 t$ 相加。

${(4 + 0 - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

${(4 - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.4

化简。

$4 - t^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

解题步骤 5.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

化简 ${(\frac{x}{4})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.1

对 $\frac{x}{4}$ 运用乘积法则。

$4 - t^{2} = \frac{x^{2}}{4^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 - t^{2} = \frac{x^{2}}{16}$

解题步骤 6

求解 $t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$

解题步骤 6.2

将 $- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

将 $- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- t^{2}}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{t^{2}}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.2

用 $t^{2}$ 除以 $1$ 。

$t^{2} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.1.1

移动 $\frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1}$ 中分母的负号。

$t^{2} = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{16} + \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.1.2

将 $- 1 \cdot \frac{x^{2}}{16}$ 重写为 $- \frac{x^{2}}{16}$ 。

$t^{2} = - \frac{x^{2}}{16} + \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.1.3

用 $- 4$ 除以 $- 1$ 。

$t^{2} = - \frac{x^{2}}{16} + 4$

解题步骤 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 4}$

解题步骤 6.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$t = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 2^{2}}$

解题步骤 6.4.1.2

将 $\frac{x^{2}}{16}$ 重写为 ${(\frac{x}{4})}^{2}$ 。

$t = \pm \sqrt{- {(\frac{x}{4})}^{2} + 2^{2}}$

解题步骤 6.4.1.3

将 $- {(\frac{x}{4})}^{2}$ 和 $2^{2}$ 重新排序。

$t = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = \frac{x}{4}$ 。

$t = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

解题步骤 6.4.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$t = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

解题步骤 6.4.4

组合 $2$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$t = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

解题步骤 6.4.5

在公分母上合并分子。

$t = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 4 + x}{4} (2 - \frac{x}{4})}$

解题步骤 6.4.6

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (2 - \frac{x}{4})}$

解题步骤 6.4.7

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4})}$

解题步骤 6.4.8

组合 $2$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (\frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{x}{4})}$

解题步骤 6.4.9

在公分母上合并分子。

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} \cdot \frac{2 \cdot 4 - x}{4}}$

解题步骤 6.4.10

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} \cdot \frac{8 - x}{4}}$

解题步骤 6.4.11

将 $\frac{8 + x}{4}$ 乘以 $\frac{8 - x}{4}$ 。

$t = \pm \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{4 \cdot 4}}$

解题步骤 6.4.12

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$t = \pm \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{16}}$

解题步骤 6.4.13

将 $\frac{(8 + x) (8 - x)}{16}$ 重写为 ${(\frac{1}{4})}^{2} ((8 + x) (8 - x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.13.1

从 $(8 + x) (8 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$t = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{16}}$

解题步骤 6.4.13.2

从 $16$ 中因式分解出完全幂数 $4^{2}$ 。

$t = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{4^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 6.4.13.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ 。

$t = \pm \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((8 + x) (8 - x))}$

解题步骤 6.4.14

从根式下提出各项。

$t = \pm \frac{1}{4} \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$

解题步骤 6.4.15

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ 。

$t = \pm \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

解题步骤 6.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

解题步骤 6.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

解题步骤 6.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

解题步骤 7

将方程中的 $t$ 替换为 $y$ ，以得出 $x$ 形式的方程。

$y = 3 (1 - \sqrt{4 - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$

解题步骤 8

化简 $3 (1 - \sqrt{4 - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = 3 (1 - \sqrt{2^{2} - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$

解题步骤 8.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})$ 。

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 - (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

解题步骤 8.1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.3.1

将 $- 1$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

解题步骤 8.1.3.2

乘以 $- - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, 1 (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})))})$

解题步骤 8.1.3.2.2

将 $\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ 乘以 $1$ 。

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

解题步骤 8.2

通过相乘进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

运用分配律。

$y = 3 \cdot 1 + 3 (- \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

解题步骤 8.2.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$y = 3 + 3 (- \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

解题步骤 8.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

解题步骤 8.2.2.3

将 $8$ 和 $x$ 重新排序。

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

解题步骤 8.2.2.4

将 $8$ 和 $- x$ 重新排序。

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

解题步骤 8.2.2.5

将 $8$ 和 $x$ 重新排序。

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

解题步骤 8.2.2.6

将 $8$ 和 $- x$ 重新排序。

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

解题步骤 8.2.2.7

将 $8$ 和 $x$ 重新排序。

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

解题步骤 8.2.2.8

将 $8$ 和 $- x$ 重新排序。

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

解题步骤 8.2.2.9

将 $8$ 和 $x$ 重新排序。

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}))}$

解题步骤 8.2.2.10

将 $8$ 和 $- x$ 重新排序。

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}))}$

初级微积分 示例

初级微积分示例