初级微积分示例

$x (t) = \tan (t)$ , $y (t) = \sec^{2} (t)$

解题步骤 1

建立 $x (t)$ 的参数方程以求解 $t$ 方程。

$x = \tan (t)$

解题步骤 2

将方程重写为 $\tan (t) = x$ 。

$\tan (t) = x$

解题步骤 3

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $t$ 。

$t = \arctan (x)$

解题步骤 4

将方程中的 $t$ 替换为 $y$ ，以得出 $x$ 形式的方程。

$y = \sec^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 5

去掉圆括号。

$y = \sec^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 6

化简 $\sec^{2} (\arctan (x))$ 。

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解题步骤 6.1

在平面中画出顶点为 $(1, x)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sec (\arctan (x))$ 为 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 。

$y = {\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$

解题步骤 6.2

将 ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 6.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 6.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.4.1

约去公因数。

$y = {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 6.2.4.2

重写表达式。

$y = {(1 + x^{2})}^{1}$

解题步骤 6.2.5

化简。

$y = 1 + x^{2}$

解题步骤 6.3

将 $1$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$y = x^{2} + 1$

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