初级微积分示例

$x - 2 y = - \frac{3}{4}$ , $4 x + 3 y = 2$

解题步骤 1

以矩阵形式表示方程组。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{3}{4} \\ 2 \end{array}]$

解题步骤 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array}]$ .

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解题步骤 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.2

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 3 - 4 \cdot - 2$

解题步骤 2.3

化简行列式。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 - 4 \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$3 + 8$

解题步骤 2.3.2

将 $3$ 和 $8$ 相加。

$11$

$D = 11$

解题步骤 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

解题步骤 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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解题步骤 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - \frac{3}{4} \\ 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - \frac{3}{4} & - 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2

Find the determinant.

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解题步骤 4.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- \frac{3}{4} \cdot 3 - 2 \cdot - 2$

解题步骤 4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

乘以 $- \frac{3}{4} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 (\frac{3}{4}) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{- 3 \cdot 3}{4} - 2 \cdot - 2$

解题步骤 4.2.2.1.1.3

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 9}{4} - 2 \cdot - 2$

解题步骤 4.2.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9}{4} - 2 \cdot - 2$

解题步骤 4.2.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{9}{4} + 4$

解题步骤 4.2.2.2

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{9}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 4.2.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{9}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

解题步骤 4.2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 9 + 4 \cdot 4}{4}$

解题步骤 4.2.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.5.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 9 + 16}{4}$

解题步骤 4.2.2.5.2

将 $- 9$ 和 $16$ 相加。

$\frac{7}{4}$

$D_{x} = \frac{7}{4}$

解题步骤 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

解题步骤 4.4

Substitute $11$ for $D$ and $\frac{7}{4}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{\frac{7}{4}}{11}$

解题步骤 4.5

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{11}$

解题步骤 4.6

乘以 $\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{11}$ 。

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解题步骤 4.6.1

将 $\frac{7}{4}$ 乘以 $\frac{1}{11}$ 。

$x = \frac{7}{4 \cdot 11}$

解题步骤 4.6.2

将 $4$ 乘以 $11$ 。

$x = \frac{7}{44}$

解题步骤 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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解题步骤 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - \frac{3}{4} \\ 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} \\ 4 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.2

Find the determinant.

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解题步骤 5.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 2 - 4 (- \frac{3}{4})$

解题步骤 5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 - 4 (- \frac{3}{4})$

解题步骤 5.2.2.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1

将 $- \frac{3}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$2 - 4 (\frac{- 3}{4})$

解题步骤 5.2.2.1.2.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 + 4 (- 1) \frac{- 3}{4}$

解题步骤 5.2.2.1.2.3

约去公因数。

$2 + 4 \cdot - 1 \frac{- 3}{4}$

解题步骤 5.2.2.1.2.4

重写表达式。

$2 - - 3$

解题步骤 5.2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$2 + 3$

解题步骤 5.2.2.2

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$5$

$D_{y} = 5$

解题步骤 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

解题步骤 5.4

Substitute $11$ for $D$ and $5$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{5}{11}$

解题步骤 6

列出方程组的解。

$x = \frac{7}{44}$

$y = \frac{5}{11}$

初级微积分 示例

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