初级微积分示例

$3 y^{2} - 5 x^{2} = 8$ , $3 y^{2} - x^{2} = 24$

Step 1

在等式两边都加上 $5 x^{2}$ 。

$3 y^{2} = 8 + 5 x^{2}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

Step 2

将 $3 y^{2} = 8 + 5 x^{2}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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将 $3 y^{2} = 8 + 5 x^{2}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{8}{3} + \frac{5 x^{2}}{3}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

化简左边。

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约去 $3$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{8}{3} + \frac{5 x^{2}}{3}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{8}{3} + \frac{5 x^{2}}{3}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

$y^{2} = \frac{8}{3} + \frac{5 x^{2}}{3}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

$y^{2} = \frac{8}{3} + \frac{5 x^{2}}{3}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

$y^{2} = \frac{8}{3} + \frac{5 x^{2}}{3}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

Step 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{8}{3} + \frac{5 x^{2}}{3}}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

Step 4

化简 $\pm \sqrt{\frac{8}{3} + \frac{5 x^{2}}{3}}$ 。

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在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{8 + 5 x^{2}}{3}}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

将 $\sqrt{\frac{8 + 5 x^{2}}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}}}{\sqrt{3}}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

将 $\frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

合并和化简分母。

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将 $\frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

$y = \pm \frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

计算指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

$y = \pm \frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

$y = \pm \frac{\sqrt{8 + 5 x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{(8 + 5 x^{2}) \cdot 3}}{3}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

将 $\pm \frac{\sqrt{(8 + 5 x^{2}) \cdot 3}}{3}$ 中的因式重新排序。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

Step 5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$3 y^{2} - x^{2} = 24$

Step 6

在等式两边都加上 $x^{2}$ 。

$3 y^{2} = 24 + x^{2}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

Step 7

将 $3 y^{2} = 24 + x^{2}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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将 $3 y^{2} = 24 + x^{2}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{24}{3} + \frac{x^{2}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

化简左边。

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约去 $3$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{24}{3} + \frac{x^{2}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{24}{3} + \frac{x^{2}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y^{2} = \frac{24}{3} + \frac{x^{2}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y^{2} = \frac{24}{3} + \frac{x^{2}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

化简右边。

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用 $24$ 除以 $3$ 。

$y^{2} = 8 + \frac{x^{2}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y^{2} = 8 + \frac{x^{2}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y^{2} = 8 + \frac{x^{2}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

Step 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{8 + \frac{x^{2}}{3}}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

Step 9

化简 $\pm \sqrt{8 + \frac{x^{2}}{3}}$ 。

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要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{8 \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{2}}{3}}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

组合 $8$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{x^{2}}{3}}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{8 \cdot 3 + x^{2}}{3}}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{24 + x^{2}}{3}}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

将 $\sqrt{\frac{24 + x^{2}}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{24 + x^{2}}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{24 + x^{2}}}{\sqrt{3}}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

将 $\frac{\sqrt{24 + x^{2}}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{24 + x^{2}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

合并和化简分母。

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将 $\frac{\sqrt{24 + x^{2}}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{24 + x^{2}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{24 + x^{2}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{24 + x^{2}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{24 + x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{24 + x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{24 + x^{2}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{24 + x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{24 + x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{24 + x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{24 + x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = \pm \frac{\sqrt{24 + x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

计算指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{24 + x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = \pm \frac{\sqrt{24 + x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = \pm \frac{\sqrt{24 + x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{(24 + x^{2}) \cdot 3}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

将 $\pm \frac{\sqrt{(24 + x^{2}) \cdot 3}}{3}$ 中的因式重新排序。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (24 + x^{2})}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (24 + x^{2})}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

Step 10

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{3 (24 + x^{2})}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{3 (24 + x^{2})}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{3 (24 + x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (24 + x^{2})}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (24 + x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (24 + x^{2})}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (8 + 5 x^{2})}}{3}$

Step 11

绘图以找到各方程的交点。方程组的交点即为解。

$(2, \frac{2 \sqrt{21}}{3})$

$(- 2, \frac{2 \sqrt{21}}{3})$

$(2, - \frac{2 \sqrt{21}}{3})$

$(- 2, - \frac{2 \sqrt{21}}{3})$

Step 12

初级微积分 示例

初级微积分示例