初级微积分示例

$x^{2} + y^{2} = 25$ , ${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

Step 1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$y^{2} = 25 - x^{2}$

${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

Step 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 - x^{2}}$

${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

Step 3

化简 $\pm \sqrt{25 - x^{2}}$ 。

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将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 5$ 和 $b = x$ 。

$y = \pm \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

$y = \pm \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

Step 4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

Step 5

从等式两边同时减去 ${(x - 8)}^{2}$ 。

$y^{2} = 41 - {(x - 8)}^{2}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Step 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{41 - {(x - 8)}^{2}}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Step 7

化简 $\pm \sqrt{41 - {(x - 8)}^{2}}$ 。

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将 ${(x - 8)}^{2}$ 重写为 $(x - 8) (x - 8)$ 。

$y = \pm \sqrt{41 - ((x - 8) (x - 8))}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

使用 FOIL 方法展开 $(x - 8) (x - 8)$ 。

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运用分配律。

$y = \pm \sqrt{41 - (x (x - 8) - 8 (x - 8))}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

运用分配律。

$y = \pm \sqrt{41 - (x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8))}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

运用分配律。

$y = \pm \sqrt{41 - (x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \pm \sqrt{41 - (x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

化简并合并同类项。

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化简每一项。

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将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \pm \sqrt{41 - (x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

将 $- 8$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \pm \sqrt{41 - (x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

将 $- 8$ 乘以 $- 8$ 。

$y = \pm \sqrt{41 - (x^{2} - 8 x - 8 x + 64)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \pm \sqrt{41 - (x^{2} - 8 x - 8 x + 64)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

从 $- 8 x$ 中减去 $8 x$ 。

$y = \pm \sqrt{41 - (x^{2} - 16 x + 64)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \pm \sqrt{41 - (x^{2} - 16 x + 64)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

运用分配律。

$y = \pm \sqrt{41 - x^{2} - (- 16 x) - 1 \cdot 64}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

化简。

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将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \pm \sqrt{41 - x^{2} + 16 x - 1 \cdot 64}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$y = \pm \sqrt{41 - x^{2} + 16 x - 64}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \pm \sqrt{41 - x^{2} + 16 x - 64}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

从 $41$ 中减去 $64$ 。

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 16 x - 23}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 16 x - 23}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Step 8

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{- x^{2} + 16 x - 23}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{- x^{2} + 16 x - 23}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{- x^{2} + 16 x - 23}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 16 x - 23}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 16 x - 23}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 16 x - 23}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Step 9

绘图以找到各方程的交点。方程组的交点即为解。

$(3, 4)$

$(3, - 4)$

Step 10

初级微积分 示例

初级微积分示例