初级微积分示例

$2 w - x + 4 y - z = 1$ , $w + x - y + 2 z = 2$ , $3 w + 0 + 3 y + 1 z = 3$ , $3 w - 3 x + 9 y - 4 z = 0$

Step 1

化简。

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将 $3 w$ 和 $0$ 相加。

$2 w - x + 4 y - z = 1, w + x - y + 2 z = 2, 3 w + 3 y + 1 z = 3, 3 w - 3 x + 9 y - 4 z = 0$

将 $z$ 乘以 $1$ 。

$2 w - x + 4 y - z = 1, w + x - y + 2 z = 2, 3 w + 3 y + z = 3, 3 w - 3 x + 9 y - 4 z = 0$

Step 2

以矩阵形式表示方程组。

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 & 4 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 0 & 3 & 1 \\ 3 & - 3 & 9 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} w \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}]$

Step 3

求 $[\begin{array}{c} 2 & - 1 & 4 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 0 & 3 & 1 \\ 3 & - 3 & 9 & - 4 \end{array}]$ 的行列式。

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通过分解为较小分量来建立行列式。

$D = 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

化简每一项。

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将 $| \begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} |$ 乘以 $1$ 。

$D = | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

Multiply every element in the $1 s t$ row by its cofactor and add.

$D = 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 9 & - 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & - 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 9 & - 4 \end{array} |$ 。

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可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D = 1 (3 \cdot - 4 - 9 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & - 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

化简行列式。

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化简每一项。

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将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$D = 1 (- 12 - 9 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & - 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$D = 1 (- 12 - 9) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & - 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

从 $- 12$ 中减去 $9$ 。

$D = 1 \cdot - 21 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & - 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & - 4 \end{array} |$ 。

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可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D = 1 \cdot - 21 + 1 (3 \cdot - 4 - 3 \cdot 1) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

化简行列式。

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化简每一项。

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将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$D = 1 \cdot - 21 + 1 (- 12 - 3 \cdot 1) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$D = 1 \cdot - 21 + 1 (- 12 - 3) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

从 $- 12$ 中减去 $3$ 。

$D = 1 \cdot - 21 + 1 \cdot - 15 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} |$ 。

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可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D = 1 \cdot - 21 + 1 \cdot - 15 + 2 (3 \cdot 9 - 3 \cdot 3) + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

化简行列式。

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将 $3$ 乘以 $9$ 。

$D = 1 \cdot - 21 + 1 \cdot - 15 + 2 (27 - 3 \cdot 3) + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$D = 1 \cdot - 21 + 1 \cdot - 15 + 2 (27 - 9) + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

从 $27$ 中减去 $9$ 。

$D = 1 \cdot - 21 + 1 \cdot - 15 + 2 \cdot 18 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

化简行列式。

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化简每一项。

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将 $- 21$ 乘以 $1$ 。

$D = - 21 + 1 \cdot - 15 + 2 \cdot 18 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $- 15$ 乘以 $1$ 。

$D = - 21 - 15 + 2 \cdot 18 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $2$ 乘以 $18$ 。

$D = - 21 - 15 + 36 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

从 $- 21$ 中减去 $15$ 。

$D = - 36 + 36 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $- 36$ 和 $36$ 相加。

$D = 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $| \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} |$ 乘以 $1$ 。

$D = 0 + | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

Multiply every element in the $1 s t$ row by its cofactor and add.

$D = 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 9 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 9 & - 4 \end{array} |$ 。

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可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D = 0 + 2 (3 \cdot - 4 - 9 \cdot 1) - 4 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

化简行列式。

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将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$D = 0 + 2 (- 12 - 9 \cdot 1) - 4 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$D = 0 + 2 (- 12 - 9) - 4 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

从 $- 12$ 中减去 $9$ 。

$D = 0 + 2 \cdot - 21 - 4 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & - 4 \end{array} |$ 。

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可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D = 0 + 2 \cdot - 21 - 4 (3 \cdot - 4 - 3 \cdot 1) - | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

化简行列式。

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将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$D = 0 + 2 \cdot - 21 - 4 (- 12 - 3 \cdot 1) - | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$D = 0 + 2 \cdot - 21 - 4 (- 12 - 3) - | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

从 $- 12$ 中减去 $3$ 。

$D = 0 + 2 \cdot - 21 - 4 \cdot - 15 - | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} |$ 。

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可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D = 0 + 2 \cdot - 21 - 4 \cdot - 15 - (3 \cdot 9 - 3 \cdot 3) + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

化简行列式。

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将 $3$ 乘以 $9$ 。

$D = 0 + 2 \cdot - 21 - 4 \cdot - 15 - (27 - 3 \cdot 3) + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$D = 0 + 2 \cdot - 21 - 4 \cdot - 15 - (27 - 9) + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

从 $27$ 中减去 $9$ 。

$D = 0 + 2 \cdot - 21 - 4 \cdot - 15 - 1 \cdot 18 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

化简行列式。

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将 $2$ 乘以 $- 21$ 。

$D = 0 - 42 - 4 \cdot - 15 - 1 \cdot 18 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $- 4$ 乘以 $- 15$ 。

$D = 0 - 42 + 60 - 1 \cdot 18 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $- 1$ 乘以 $18$ 。

$D = 0 - 42 + 60 - 18 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $- 42$ 和 $60$ 相加。

$D = 0 + 18 - 18 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

从 $18$ 中减去 $18$ 。

$D = 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 9 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

Multiply every element in the $1 s t$ row by its cofactor and add.

$D = 0 + 0 + 0 (2 | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 9 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 9 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

计算 $| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 9 & - 4 \end{array} |$ 。

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可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D = 0 + 0 + 0 (2 (4 - 9 \cdot 2) - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 9 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

化简行列式。

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化简每一项。

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将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$D = 0 + 0 + 0 (2 (4 - 18) - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 9 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

从 $4$ 中减去 $18$ 。

$D = 0 + 0 + 0 (2 \cdot - 14 - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 9 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & - 4 \end{array} |$ 。

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可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D = 0 + 0 + 0 (2 \cdot - 14 - 4 (1 \cdot - 4 - 3 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 9 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

化简行列式。

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化简每一项。

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将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$D = 0 + 0 + 0 (2 \cdot - 14 - 4 (- 4 - 3 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 9 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$D = 0 + 0 + 0 (2 \cdot - 14 - 4 (- 4 - 6) - | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 9 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

从 $- 4$ 中减去 $6$ 。

$D = 0 + 0 + 0 (2 \cdot - 14 - 4 \cdot - 10 - | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 9 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

计算 $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 9 \end{array} |$ 。

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可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D = 0 + 0 + 0 (2 \cdot - 14 - 4 \cdot - 10 - (1 \cdot 9 - 3 \cdot - 1)) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

化简行列式。

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将 $9$ 乘以 $1$ 。

$D = 0 + 0 + 0 (2 \cdot - 14 - 4 \cdot - 10 - (9 - 3 \cdot - 1)) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$D = 0 + 0 + 0 (2 \cdot - 14 - 4 \cdot - 10 - (9 + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$D = 0 + 0 + 0 (2 \cdot - 14 - 4 \cdot - 10 - 1 \cdot 12) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

化简行列式。

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将 $2$ 乘以 $- 14$ 。

$D = 0 + 0 + 0 (- 28 - 4 \cdot - 10 - 1 \cdot 12) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $- 4$ 乘以 $- 10$ 。

$D = 0 + 0 + 0 (- 28 + 40 - 1 \cdot 12) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$D = 0 + 0 + 0 (- 28 + 40 - 12) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $- 28$ 和 $40$ 相加。

$D = 0 + 0 + 0 (12 - 12) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

从 $12$ 中减去 $12$ 。

$D = 0 + 0 + 0 \cdot 0 - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$D = 0 + 0 + 0 - 3 | \begin{array}{c} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} |$

Multiply every element in the $1 s t$ row by its cofactor and add.

$D = 0 + 0 + 0 - 3 (2 | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 3 \end{array} |)$

计算 $| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$ 。

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可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D = 0 + 0 + 0 - 3 (2 (- 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 3 \end{array} |)$

化简行列式。

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化简每一项。

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将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$D = 0 + 0 + 0 - 3 (2 (- 1 - 3 \cdot 2) - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 3 \end{array} |)$

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$D = 0 + 0 + 0 - 3 (2 (- 1 - 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 3 \end{array} |)$

从 $- 1$ 中减去 $6$ 。

$D = 0 + 0 + 0 - 3 (2 \cdot - 7 - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 3 \end{array} |)$

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$ 。

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可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D = 0 + 0 + 0 - 3 (2 \cdot - 7 - 4 (1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 3 \end{array} |)$

化简行列式。

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化简每一项。

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将 $1$ 乘以 $1$ 。

$D = 0 + 0 + 0 - 3 (2 \cdot - 7 - 4 (1 - 3 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 3 \end{array} |)$

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$D = 0 + 0 + 0 - 3 (2 \cdot - 7 - 4 (1 - 6) - | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 3 \end{array} |)$

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$D = 0 + 0 + 0 - 3 (2 \cdot - 7 - 4 \cdot - 5 - | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 3 \end{array} |)$

计算 $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$ 。

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可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D = 0 + 0 + 0 - 3 (2 \cdot - 7 - 4 \cdot - 5 - (1 \cdot 3 - 3 \cdot - 1))$

化简行列式。

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化简每一项。

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将 $3$ 乘以 $1$ 。

$D = 0 + 0 + 0 - 3 (2 \cdot - 7 - 4 \cdot - 5 - (3 - 3 \cdot - 1))$

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$D = 0 + 0 + 0 - 3 (2 \cdot - 7 - 4 \cdot - 5 - (3 + 3))$

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$D = 0 + 0 + 0 - 3 (2 \cdot - 7 - 4 \cdot - 5 - 1 \cdot 6)$

化简行列式。

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化简每一项。

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将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$D = 0 + 0 + 0 - 3 (- 14 - 4 \cdot - 5 - 1 \cdot 6)$

将 $- 4$ 乘以 $- 5$ 。

$D = 0 + 0 + 0 - 3 (- 14 + 20 - 1 \cdot 6)$

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$D = 0 + 0 + 0 - 3 (- 14 + 20 - 6)$

将 $- 14$ 和 $20$ 相加。

$D = 0 + 0 + 0 - 3 (6 - 6)$

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$D = 0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0$

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$D = 0 + 0 + 0 + 0$

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$D = 0 + 0 + 0$

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$D = 0 + 0$

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$D = 0$

Step 4

由于行列式是 $0$ ，所以无法使用克莱姆法则

无法用克莱姆法则求解

Step 5

选择两个方程并消去一个变量。在本例中，消去 $z$ 。

$2 w - x + 4 y - z = 1$

$3 w + 3 y + z = 3$

Step 6

从方程组中消去 $z$ 。

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将两个方程相加，从方程组中消去 $z$ 。

	$2$	$w$	$-$	$x$	$+$	$4$	$y$	$-$	$z$	$=$	$1$
$+$	$3$	$w$			$+$	$3$	$y$	$+$	$z$	$=$	$3$
	$5$	$w$	$-$	$x$	$+$	$7$	$y$			$=$	$4$

结果方程消去了 $z$ 。

$5 w - x + 7 y = 4$

Step 7

选择另外两个方程并消去 $z$ 。

$w + x - y + 2 z = 2$

$3 w + 3 y + z = 3$

Step 8

从方程组中消去 $z$ 。

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将每个方程乘以使 $z$ 的系数取反的数值。

$w + x - y + 2 z = 2$

$(- 2) \cdot (3 w + 3 y + z) = (- 2) (3)$

化简。

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化简左边。

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化简 $(- 2) \cdot (3 w + 3 y + z)$ 。

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运用分配律。

$w + x - y + 2 z = 2$

$- 2 (3 w) - 2 (3 y) - 2 z = (- 2) (3)$

化简。

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将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$w + x - y + 2 z = 2$

$- 6 w - 2 (3 y) - 2 z = (- 2) (3)$

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$w + x - y + 2 z = 2$

$- 6 w - 6 y - 2 z = (- 2) (3)$

$w + x - y + 2 z = 2$

$- 6 w - 6 y - 2 z = (- 2) (3)$

$w + x - y + 2 z = 2$

$- 6 w - 6 y - 2 z = (- 2) (3)$

$w + x - y + 2 z = 2$

$- 6 w - 6 y - 2 z = (- 2) (3)$

化简右边。

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将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$w + x - y + 2 z = 2$

$- 6 w - 6 y - 2 z = - 6$

$w + x - y + 2 z = 2$

$- 6 w - 6 y - 2 z = - 6$

$w + x - y + 2 z = 2$

$- 6 w - 6 y - 2 z = - 6$

将两个方程相加，从方程组中消去 $z$ 。

			$w$	$+$	$x$		$-$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$		$2$
$+$	$-$	$6$	$w$			$-$	$6$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$6$
	$-$	$5$	$w$	$+$	$x$	$-$	$7$	$y$				$=$	$-$	$4$

结果方程消去了 $z$ 。

$- 5 w + x - 7 y = - 4$

Step 9

取结式方程同时消去另一个变量。在本例中，消去 $x$ 。

$5 w - x + 7 y = 4$

$- 5 w + x - 7 y = - 4$

Step 10

从方程组中消去 $x$ 。

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将两个方程相加，从方程组中消去 $x$ 。

		$5$	$w$	$-$	$x$	$+$	$7$	$y$	$=$		$4$
$+$	$-$	$5$	$w$	$+$	$x$	$-$	$7$	$y$	$=$	$-$	$4$
								$0$	$=$		$0$

结果方程消去了 $x$ 。

$0 = 0$

Step 11

由于得出的方程中不包含变量且为真，方程组有无限个解。

无穷多组解

	$2$	$w$	$-$	$x$	$+$	$4$	$y$	$-$	$z$	$=$	$1$
$+$	$3$	$w$			$+$	$3$	$y$	$+$	$z$	$=$	$3$
	$5$	$w$	$-$	$x$	$+$	$7$	$y$			$=$	$4$

			$w$	$+$	$x$		$-$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$		$2$
$+$	$-$	$6$	$w$			$-$	$6$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$6$
	$-$	$5$	$w$	$+$	$x$	$-$	$7$	$y$				$=$	$-$	$4$

		$5$	$w$	$-$	$x$	$+$	$7$	$y$	$=$		$4$
$+$	$-$	$5$	$w$	$+$	$x$	$-$	$7$	$y$	$=$	$-$	$4$
								$0$	$=$		$0$

	$2$	$w$	$-$	$x$	$+$	$4$	$y$	$-$	$z$	$=$	$1$
$+$	$3$	$w$			$+$	$3$	$y$	$+$	$z$	$=$	$3$
	$5$	$w$	$-$	$x$	$+$	$7$	$y$			$=$	$4$

			$w$	$+$	$x$		$-$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$		$2$
$+$	$-$	$6$	$w$			$-$	$6$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$6$
	$-$	$5$	$w$	$+$	$x$	$-$	$7$	$y$				$=$	$-$	$4$

		$5$	$w$	$-$	$x$	$+$	$7$	$y$	$=$		$4$
$+$	$-$	$5$	$w$	$+$	$x$	$-$	$7$	$y$	$=$	$-$	$4$
								$0$	$=$		$0$

初级微积分 示例

初级微积分示例

	$2$	$w$	$-$	$x$	$+$	$4$	$y$	$-$	$z$	$=$	$1$
$+$	$3$	$w$			$+$	$3$	$y$	$+$	$z$	$=$	$3$
	$5$	$w$	$-$	$x$	$+$	$7$	$y$			$=$	$4$

			$w$	$+$	$x$		$-$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$		$2$
$+$	$-$	$6$	$w$			$-$	$6$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$6$
	$-$	$5$	$w$	$+$	$x$	$-$	$7$	$y$				$=$	$-$	$4$

		$5$	$w$	$-$	$x$	$+$	$7$	$y$	$=$		$4$
$+$	$-$	$5$	$w$	$+$	$x$	$-$	$7$	$y$	$=$	$-$	$4$
								$0$	$=$		$0$