初级微积分示例

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{21} y = \frac{221}{2}$ , $x - \frac{1}{2} y = - 84$

解题步骤 1

以矩阵形式表示方程组。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$

解题步骤 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ .

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解题步骤 2.1

Write $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

解题步骤 2.2

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{21}$

解题步骤 2.3

化简行列式。

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解题步骤 2.3.1

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{1}{21}$

解题步骤 2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{4} - \frac{1}{21}$

解题步骤 2.3.2

要将 $- \frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{21}{21}$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21}$

解题步骤 2.3.3

要将 $- \frac{1}{21}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 2.3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $84$ 的形式。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{21}{21}$ 。

$- \frac{21}{4 \cdot 21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 2.3.4.2

将 $4$ 乘以 $21$ 。

$- \frac{21}{84} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 2.3.4.3

将 $\frac{1}{21}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{21 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.4.4

将 $21$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{84}$

解题步骤 2.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- 21 - 4}{84}$

解题步骤 2.3.6

从 $- 21$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- 25}{84}$

解题步骤 2.3.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{25}{84}$

$D = - \frac{25}{84}$

解题步骤 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

解题步骤 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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解题步骤 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{221}{2} & \frac{1}{21} \\ - 84 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

解题步骤 4.2

Find the determinant.

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解题步骤 4.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$\frac{221}{2} (- \frac{1}{2}) - (- 84 (\frac{1}{21}))$

解题步骤 4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

乘以 $\frac{221}{2} (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

将 $\frac{221}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{221}{2 \cdot 2} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{221}{4} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

解题步骤 4.2.2.1.2

约去 $21$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.2.1

从 $- 84$ 中分解出因数 $21$ 。

$- \frac{221}{4} - (21 (- 4) \frac{1}{21})$

解题步骤 4.2.2.1.2.2

约去公因数。

$- \frac{221}{4} - (21 \cdot - 4 \frac{1}{21})$

解题步骤 4.2.2.1.2.3

重写表达式。

$- \frac{221}{4} - - 4$

解题步骤 4.2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$- \frac{221}{4} + 4$

解题步骤 4.2.2.2

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{221}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 4.2.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{221}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

解题步骤 4.2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 221 + 4 \cdot 4}{4}$

解题步骤 4.2.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.5.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 221 + 16}{4}$

解题步骤 4.2.2.5.2

将 $- 221$ 和 $16$ 相加。

$\frac{- 205}{4}$

解题步骤 4.2.2.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{205}{4}$

$D_{x} = - \frac{205}{4}$

解题步骤 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

解题步骤 4.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{205}{4}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- \frac{205}{4}}{- \frac{25}{84}}$

解题步骤 4.5

将两个负数相除得到一个正数。

$x = \frac{\frac{205}{4}}{\frac{25}{84}}$

解题步骤 4.6

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{205}{4} \cdot \frac{84}{25}$

解题步骤 4.7

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.1

从 $205$ 中分解出因数 $5$ 。

$x = \frac{5 (41)}{4} \cdot \frac{84}{25}$

解题步骤 4.7.2

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

解题步骤 4.7.3

约去公因数。

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

解题步骤 4.7.4

重写表达式。

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{84}{5}$

解题步骤 4.8

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.8.1

从 $84$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 (21)}{5}$

解题步骤 4.8.2

约去公因数。

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 \cdot 21}{5}$

解题步骤 4.8.3

重写表达式。

$x = 41 (\frac{21}{5})$

解题步骤 4.9

组合 $41$ 和 $\frac{21}{5}$ 。

$x = \frac{41 \cdot 21}{5}$

解题步骤 4.10

将 $41$ 乘以 $21$ 。

$x = \frac{861}{5}$

解题步骤 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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解题步骤 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{221}{2} \\ 1 & - 84 \end{array} |$

解题步骤 5.2

Find the determinant.

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解题步骤 5.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$\frac{1}{2} \cdot - 84 - \frac{221}{2}$

解题步骤 5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

从 $- 84$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot (2 (- 42)) - \frac{221}{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 42) - \frac{221}{2}$

解题步骤 5.2.2.1.3

重写表达式。

$- 42 - \frac{221}{2}$

解题步骤 5.2.2.2

要将 $- 42$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 42 \cdot \frac{2}{2} - \frac{221}{2}$

解题步骤 5.2.2.3

组合 $- 42$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 42 \cdot 2}{2} - \frac{221}{2}$

解题步骤 5.2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 42 \cdot 2 - 221}{2}$

解题步骤 5.2.2.5

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.5.1

将 $- 42$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 84 - 221}{2}$

解题步骤 5.2.2.5.2

从 $- 84$ 中减去 $221$ 。

$\frac{- 305}{2}$

解题步骤 5.2.2.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{305}{2}$

$D_{y} = - \frac{305}{2}$

解题步骤 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

解题步骤 5.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{305}{2}$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- \frac{305}{2}}{- \frac{25}{84}}$

解题步骤 5.5

将两个负数相除得到一个正数。

$y = \frac{\frac{305}{2}}{\frac{25}{84}}$

解题步骤 5.6

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{305}{2} \cdot \frac{84}{25}$

解题步骤 5.7

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.1

从 $305$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \frac{5 (61)}{2} \cdot \frac{84}{25}$

解题步骤 5.7.2

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

解题步骤 5.7.3

约去公因数。

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

解题步骤 5.7.4

重写表达式。

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{84}{5}$

解题步骤 5.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.1

从 $84$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 (42)}{5}$

解题步骤 5.8.2

约去公因数。

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 \cdot 42}{5}$

解题步骤 5.8.3

重写表达式。

$y = 61 (\frac{42}{5})$

解题步骤 5.9

组合 $61$ 和 $\frac{42}{5}$ 。

$y = \frac{61 \cdot 42}{5}$

解题步骤 5.10

将 $61$ 乘以 $42$ 。

$y = \frac{2562}{5}$

解题步骤 6

列出方程组的解。

$x = \frac{861}{5}$

$y = \frac{2562}{5}$

初级微积分 示例

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