初级微积分示例

$x + y + z = 8$ , $x - y + z = - 2$ , $2 x + 0 + 2 = 9$

Step 1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x + 2 = 9$

Step 2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x = 9 - 2$

Step 3

从 $9$ 中减去 $2$ 。

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x = 7$

Step 4

以矩阵形式表示方程组。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ - 2 \\ 7 \end{array}]$

Step 5

求 $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}]$ 的行列式。

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通过分解为较小分量来建立行列式。

$D = - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

化简每一项。

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可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D = - 1 (1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

化简行列式。

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将 $0$ 乘以 $1$ 。

$D = - 1 (0 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$D = - 1 (0 - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$D = - 1 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$D = 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D = 2 - 1 (1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

化简行列式。

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将 $0$ 乘以 $1$ 。

$D = 2 - 1 (0 - 2 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$D = 2 - 1 (0 - 2) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$D = 2 - 1 \cdot - 2 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$D = 2 + 2 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D = 2 + 2 + 0 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

化简行列式。

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将 $1$ 乘以 $1$ 。

$D = 2 + 2 + 0 (1 - 1 \cdot 1)$

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$D = 2 + 2 + 0 (1 - 1)$

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$D = 2 + 2 + 0 \cdot 0$

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$D = 2 + 2 + 0$

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$D = 4 + 0$

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$D = 4$

Step 6

求 $[\begin{array}{c} 8 & 1 & 1 \\ - 2 & - 1 & 1 \\ 7 & 0 & 0 \end{array}]$ 的行列式。

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通过分解为较小分量来建立行列式。

$D_{x} = - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

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可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D_{x} = - 1 (- 2 \cdot 0 - 7 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

化简行列式。

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将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$D_{x} = - 1 (0 - 7 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$D_{x} = - 1 (0 - 7) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

从 $0$ 中减去 $7$ 。

$D_{x} = - 1 \cdot - 7 - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$D_{x} = 7 - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D_{x} = 7 - 1 (8 \cdot 0 - 7 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

化简行列式。

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将 $8$ 乘以 $0$ 。

$D_{x} = 7 - 1 (0 - 7 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$D_{x} = 7 - 1 (0 - 7) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

从 $0$ 中减去 $7$ 。

$D_{x} = 7 - 1 \cdot - 7 + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$D_{x} = 7 + 7 + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1))$

化简行列式。

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将 $8$ 乘以 $1$ 。

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 - (- 2 \cdot 1))$

乘以 $- (- 2 \cdot 1)$ 。

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将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 + 2)$

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 + 2)$

将 $8$ 和 $2$ 相加。

$D_{x} = 7 + 7 + 0 \cdot 10$

将 $0$ 乘以 $10$ 。

$D_{x} = 7 + 7 + 0$

将 $7$ 和 $7$ 相加。

$D_{x} = 14 + 0$

将 $14$ 和 $0$ 相加。

$D_{x} = 14$

Step 7

求 $[\begin{array}{c} 1 & 8 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 2 & 7 & 0 \end{array}]$ 的行列式。

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通过分解为较小分量来建立行列式。

$D_{y} = 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

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将 $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} |$ 乘以 $1$ 。

$D_{y} = | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D_{y} = 1 \cdot 7 - 2 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

化简行列式。

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将 $7$ 乘以 $1$ 。

$D_{y} = 7 - 2 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$D_{y} = 7 + 4 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

将 $7$ 和 $4$ 相加。

$D_{y} = 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D_{y} = 11 - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

化简行列式。

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将 $7$ 乘以 $1$ 。

$D_{y} = 11 - 1 (7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$D_{y} = 11 - 1 (7 - 16) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

从 $7$ 中减去 $16$ 。

$D_{y} = 11 - 1 \cdot - 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$D_{y} = 11 + 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 8)$

化简行列式。

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将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (- 2 - 1 \cdot 8)$

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (- 2 - 8)$

从 $- 2$ 中减去 $8$ 。

$D_{y} = 11 + 9 + 0 \cdot - 10$

将 $0$ 乘以 $- 10$ 。

$D_{y} = 11 + 9 + 0$

将 $11$ 和 $9$ 相加。

$D_{y} = 20 + 0$

将 $20$ 和 $0$ 相加。

$D_{y} = 20$

Step 8

求 $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 8 \\ 1 & - 1 & - 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{array}]$ 的行列式。

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通过分解为较小分量来建立行列式。

$D_{z} = - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

化简每一项。

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可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D_{z} = - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

化简行列式。

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将 $7$ 乘以 $1$ 。

$D_{z} = - 1 (7 - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$D_{z} = - 1 (7 + 4) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

将 $7$ 和 $4$ 相加。

$D_{z} = - 1 \cdot 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

将 $- 1$ 乘以 $11$ 。

$D_{z} = - 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D_{z} = - 11 - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

化简行列式。

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将 $7$ 乘以 $1$ 。

$D_{z} = - 11 - 1 (7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$D_{z} = - 11 - 1 (7 - 16) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

从 $7$ 中减去 $16$ 。

$D_{z} = - 11 - 1 \cdot - 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 8)$

化简行列式。

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化简每一项。

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将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (- 2 - 1 \cdot 8)$

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (- 2 - 8)$

从 $- 2$ 中减去 $8$ 。

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 \cdot - 10$

将 $0$ 乘以 $- 10$ 。

$D_{z} = - 11 + 9 + 0$

将 $- 11$ 和 $9$ 相加。

$D_{z} = - 2 + 0$

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$D_{z} = - 2$

Step 9

使用克莱姆法则求 $x$ 的值，即 $x = \frac{D_{x}}{D}$ 。在本例中，为 $x = \frac{14}{4}$ 。

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去掉圆括号。

$x = \frac{14}{4}$

约去 $14$ 和 $4$ 的公因数。

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从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (7)}{4}$

约去公因数。

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从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

约去公因数。

$x = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

重写表达式。

$x = \frac{7}{2}$

Step 10

使用克莱姆法则求 $y$ 的值，即 $y = \frac{D_{y}}{D}$ 。在本例中，为 $y = \frac{20}{4}$ 。

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去掉圆括号。

$y = \frac{20}{4}$

用 $20$ 除以 $4$ 。

$y = 5$

Step 11

使用克莱姆法则求 $z$ 的值，即 $z = \frac{D_{z}}{D}$ 。在本例中，为 $z = \frac{- 2}{4}$ 。

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去掉圆括号。

$z = \frac{- 2}{4}$

化简 $\frac{- 2}{4}$ 。

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约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$z = \frac{2 (- 1)}{4}$

约去公因数。

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从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$z = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

约去公因数。

$z = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

重写表达式。

$z = \frac{- 1}{2}$

将负号移到分数的前面。

$z = - \frac{1}{2}$

Step 12

使用克莱姆法则求出的方程组的解。

$x = \frac{7}{2}, y = 5, z = - \frac{1}{2}$

初级微积分 示例

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