初级微积分示例

$(- \sqrt{255}, 3 + \sqrt{2})$

解题步骤 1

使用换算公式，把直角坐标系 $(x, y)$ 转换成极坐标系 $(r, θ)$ 。

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 2

使用实际值替换 $x$ 和 $y$ 。

$r = \sqrt{{(- \sqrt{255})}^{2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3

求极坐标的大小。

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解题步骤 3.1

通过约去带根式的指数进行化简。

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解题步骤 3.1.1

对 $- \sqrt{255}$ 运用乘积法则。

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{255}}^{2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.1.2

化简表达式。

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解题步骤 3.1.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{1 {\sqrt{255}}^{2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.1.2.2

将 ${\sqrt{255}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$r = \sqrt{{\sqrt{255}}^{2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{\sqrt{255}}^{2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.1.3

将 ${\sqrt{255}}^{2}$ 重写为 $255$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{255}$ 重写成 $255^{\frac{1}{2}}$ 。

$r = \sqrt{{(255^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r = \sqrt{255^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$r = \sqrt{255^{\frac{2}{2}} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.3.4.1

约去公因数。

$r = \sqrt{255^{\frac{2}{2}} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.1.3.4.2

重写表达式。

$r = \sqrt{255 + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{255 + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.1.3.5

计算指数。

$r = \sqrt{255 + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{255 + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.1.4

将 ${(3 + \sqrt{2})}^{2}$ 重写为 $(3 + \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2})$ 。

$r = \sqrt{255 + (3 + \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{255 + (3 + \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 + \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$r = \sqrt{255 + 3 (3 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (3 + \sqrt{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$r = \sqrt{255 + 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2} (3 + \sqrt{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$r = \sqrt{255 + 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 3 + \sqrt{2} \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{255 + 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 3 + \sqrt{2} \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 3 + \sqrt{2} \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.3.1.2

将 $3$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.3.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.3.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.3.1.5

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.3.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.3.2

将 $9$ 和 $2$ 相加。

$r = \sqrt{255 + 11 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.3.3

将 $3 \sqrt{2}$ 和 $3 \sqrt{2}$ 相加。

$r = \sqrt{255 + 11 + 6 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{255 + 11 + 6 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.4

将 $255$ 和 $11$ 相加。

$r = \sqrt{266 + 6 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{266 + 6 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 4

使用实际值替换 $x$ 和 $y$ 。

$r = \sqrt{266 + 6 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{3 + \sqrt{2}}{- \sqrt{255}})$

解题步骤 5

$- \frac{3 \sqrt{255} + \sqrt{510}}{255}$ 的反正切为 $θ = 164.54766936 °$ 。

$r = \sqrt{266 + 6 \sqrt{2}}$

$θ = 164.54766936 °$

解题步骤 6

这是 $(r, θ)$ 形式的转换成极坐标的结果。

$(\sqrt{266 + 6 \sqrt{2}}, 164.54766936 °)$

初级微积分 示例

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