初级微积分示例

$x^{2} + \frac{1}{3} x + y^{2} - \frac{2}{3} y = \frac{1}{9}$

解题步骤 1

对 $x^{2} + \frac{1}{3} x$ 进行配方。

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解题步骤 1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x$ 。

$x^{2} + \frac{x}{3}$

解题步骤 1.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = \frac{1}{3}$

$c = 0$

解题步骤 1.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{\frac{1}{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1

约去公因数。

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2.2.2

重写表达式。

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.4.2.3

乘以 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.2.3.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$d = \frac{1}{3 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$d = \frac{1}{6}$

解题步骤 1.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 1.5.2.1.1.1

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$e = 0 - \frac{\frac{1^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.2.1.1.2

一的任意次幂都为一。

$e = 0 - \frac{\frac{1}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.2.1.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{\frac{1}{9}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{\frac{1}{9}}{4}$

解题步骤 1.5.2.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$e = 0 - (\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{4})$

解题步骤 1.5.2.1.4

乘以 $\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 1.5.2.1.4.1

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$e = 0 - \frac{1}{9 \cdot 4}$

解题步骤 1.5.2.1.4.2

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - \frac{1}{36}$

解题步骤 1.5.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{36}$ 。

$e = - \frac{1}{36}$

解题步骤 1.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x + \frac{1}{6})}^{2} - \frac{1}{36}$ 。

${(x + \frac{1}{6})}^{2} - \frac{1}{36}$

解题步骤 2

在方程 $x^{2} + \frac{1}{3} x + y^{2} - \frac{2}{3} y = \frac{1}{9}$ 中，用 ${(x + \frac{1}{6})}^{2} - \frac{1}{36}$ 代替 $x^{2} + \frac{1}{3} x$ 。

${(x + \frac{1}{6})}^{2} - \frac{1}{36} + y^{2} - \frac{2}{3} y = \frac{1}{9}$

解题步骤 3

通过在等式两边同时加上 $\frac{1}{36}$ 的方法来将 $- \frac{1}{36}$ 移到等式右边。

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + y^{2} - \frac{2}{3} y = \frac{1}{9} + \frac{1}{36}$

解题步骤 4

对 $y^{2} - \frac{2}{3} y$ 进行配方。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

组合 $y$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$y^{2} - \frac{y \cdot 2}{3}$

解题步骤 4.1.2

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$y^{2} - \frac{2 y}{3}$

解题步骤 4.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = 0$

解题步骤 4.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 4.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 4.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.1

约去 $- 1$ 和 $1$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1.1

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$d = \frac{- 1 (1) \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2.1.2

约去公因数。

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2.1.3

重写表达式。

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

解题步骤 4.4.2.2

将分子乘以分母的倒数。

$d = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.3.1

将 $- \frac{2}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.2.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.2.3.3

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.2.3.4

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 4.4.2.4

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{1}{3}$

解题步骤 4.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 4.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2

化简右边。

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解题步骤 4.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 4.5.2.1.1.1

对 $- \frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2.1.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2.1.1.3

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$e = 0 - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2.1.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2.1.1.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2.1.1.6

将 $\frac{4}{9}$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4}$

解题步骤 4.5.2.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

解题步骤 4.5.2.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.1.4.1

约去公因数。

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

解题步骤 4.5.2.1.4.2

重写表达式。

$e = 0 - \frac{1}{9}$

解题步骤 4.5.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{9}$ 。

$e = - \frac{1}{9}$

解题步骤 4.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ 。

${(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$

解题步骤 5

在方程 $x^{2} + \frac{1}{3} x + y^{2} - \frac{2}{3} y = \frac{1}{9}$ 中，用 ${(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ 代替 $y^{2} - \frac{2}{3} y$ 。

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9} = \frac{1}{9} + \frac{1}{36}$

解题步骤 6

通过在等式两边同时加上 $\frac{1}{9}$ 的方法来将 $- \frac{1}{9}$ 移到等式右边。

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9} + \frac{1}{36} + \frac{1}{9}$

解题步骤 7

化简 $\frac{1}{9} + \frac{1}{36} + \frac{1}{9}$ 。

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解题步骤 7.1

在公分母上合并分子。

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{1 + 1}{9} + \frac{1}{36}$

解题步骤 7.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{2}{9} + \frac{1}{36}$

解题步骤 7.3

要将 $\frac{2}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{36}$

解题步骤 7.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $36$ 的形式。

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解题步骤 7.4.1

将 $\frac{2}{9}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} + \frac{1}{36}$

解题步骤 7.4.2

将 $9$ 乘以 $4$ 。

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{2 \cdot 4}{36} + \frac{1}{36}$

解题步骤 7.5

在公分母上合并分子。

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{36}$

解题步骤 7.6

化简分子。

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解题步骤 7.6.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{8 + 1}{36}$

解题步骤 7.6.2

将 $8$ 和 $1$ 相加。

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{9}{36}$

解题步骤 7.7

约去 $9$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 7.7.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{9 (1)}{36}$

解题步骤 7.7.2

约去公因数。

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解题步骤 7.7.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $9$ 。

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 4}$

解题步骤 7.7.2.2

约去公因数。

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 4}$

解题步骤 7.7.2.3

重写表达式。

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{4}$

解题步骤 8

这是圆的形式。使用此形式可确定圆心和圆半径。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

解题步骤 9

将该圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $r$ 表示圆的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$r = \frac{1}{2}$

$h = - \frac{1}{6}$

$k = \frac{1}{3}$

解题步骤 10

该圆的圆心求得为 $(h, k)$ 。

中心点： $(- \frac{1}{6}, \frac{1}{3})$

解题步骤 11

这些值代表的是绘制和分析圆时的重要数值。

中心点： $(- \frac{1}{6}, \frac{1}{3})$

半径： $\frac{1}{2}$

解题步骤 12

初级微积分 示例

初级微积分示例