初级微积分示例

$9 \log_{2} (\sqrt[3]{x^{2} - 4}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$9 \log_{2} (\sqrt[3]{x^{2} - 2^{2}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$9 \log_{2} (\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $9 \log_{2} (\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)})$ 。

$\log_{2} ({\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}}^{9}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.4

将 ${\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}}^{9}$ 重写为 ${((x + 2) (x - 2))}^{3}$ 。

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解题步骤 1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}$ 重写成 ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\log_{2} ({({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{3}})}^{9}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 9}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.4.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $9$ 。

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{9}{3}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.4.4

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.4.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3 \cdot 3}{3}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.4.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.4.4.2.2

约去公因数。

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.4.4.2.3

重写表达式。

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3}{1}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.4.4.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.5

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$\log_{2} ({(x (x - 2) + 2 (x - 2))}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.5.2

运用分配律。

$\log_{2} ({(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2))}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.5.3

运用分配律。

$\log_{2} ({(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.6

合并 $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 1.6.1

按照 $x \cdot - 2$ 和 $2 x$ 重新排列因数。

$\log_{2} ({(x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.6.2

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\log_{2} ({(x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.6.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\log_{2} ({(x \cdot x + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log_{2} ({(x^{2} + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.7.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\log_{2} ({(x^{2} - 4)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

解题步骤 1.8

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \log_{2} (x - 2)$ 。

$\log_{2} ({(x^{2} - 4)}^{3}) - \log_{2} ({(x - 2)}^{2}) + \log_{2} (x)$

解题步骤 2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{2} (\frac{{(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x - 2)}^{2}}) + \log_{2} (x)$

解题步骤 3

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{2} (\frac{{(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\log_{2} (\frac{{(x^{2} - 2^{2})}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

解题步骤 4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\log_{2} (\frac{{((x + 2) (x - 2))}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

解题步骤 4.3

对 $(x + 2) (x - 2)$ 运用乘积法则。

$\log_{2} (\frac{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

约去 ${(x - 2)}^{3}$ 和 ${(x - 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1

从 ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}$ 中分解出因数 ${(x - 2)}^{2}$ 。

$\log_{2} (\frac{{(x - 2)}^{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2}} x)$

解题步骤 5.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.1.2.1

乘以 $1$ 。

$\log_{2} (\frac{{(x - 2)}^{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2} \cdot 1} x)$

解题步骤 5.1.2.2

约去公因数。

$\log_{2} (\frac{{(x - 2)}^{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2} \cdot 1} x)$

解题步骤 5.1.2.3

重写表达式。

$\log_{2} (\frac{{(x + 2)}^{3} (x - 2)}{1} x)$

解题步骤 5.1.2.4

用 ${(x + 2)}^{3} (x - 2)$ 除以 $1$ 。

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2) x)$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\log_{2} (({(x + 2)}^{3} x + {(x + 2)}^{3} \cdot - 2) x)$

解题步骤 5.3

将 $- 2$ 移到 ${(x + 2)}^{3}$ 的左侧。

$\log_{2} (({(x + 2)}^{3} x - 2 \cdot {(x + 2)}^{3}) x)$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} x \cdot x - 2 {(x + 2)}^{3} x)$

解题步骤 6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.1

移动 $x$ 。

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} (x \cdot x) - 2 {(x + 2)}^{3} x)$

解题步骤 6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} x^{2} - 2 {(x + 2)}^{3} x)$

解题步骤 7

将 $\log_{2} ({(x + 2)}^{3} x^{2} - 2 {(x + 2)}^{3} x)$ 中的因式重新排序。

$\log_{2} (x^{2} {(x + 2)}^{3} - 2 x {(x + 2)}^{3})$

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