初级微积分示例

$\log (\sqrt{\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) {(x^{2} - 16)}^{5}}})$

解题步骤 1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\log (\sqrt{\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) {(x^{2} - 4^{2})}^{5}}})$

解题步骤 2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$\log (\sqrt{\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) {((x + 4) (x - 4))}^{5}}})$

解题步骤 3

对 $(x + 4) (x - 4)$ 运用乘积法则。

$\log (\sqrt{\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) {(x + 4)}^{5} {(x - 4)}^{5}}})$

解题步骤 4

将 $\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) {(x + 4)}^{5} {(x - 4)}^{5}}$ 重写为 ${(\frac{1}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}})}^{2} \frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}$ 。

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解题步骤 4.1

从 $x^{2} + 7$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\log (\sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 7)}{(x^{4} + 8) {(x + 4)}^{5} {(x - 4)}^{5}}})$

解题步骤 4.2

重新整理分数 $\frac{1^{2} (x^{2} + 7)}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2} ((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}$ 。

$\log (\sqrt{{(\frac{1}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}})}^{2} \frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

解题步骤 5

从根式下提出各项。

$\log (\frac{1}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} \sqrt{\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

解题步骤 6

将 $\sqrt{\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{x^{2} + 7}}{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}$ 。

$\log (\frac{1}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 7}}{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

解题步骤 7

合并。

$\log (\frac{1 \sqrt{x^{2} + 7}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

解题步骤 8

将 $\sqrt{x^{2} + 7}$ 乘以 $1$ 。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

解题步骤 9

将 $\frac{\sqrt{x^{2} + 7}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}$ 。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}} \cdot \frac{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

解题步骤 10

合并和化简分母。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{\sqrt{x^{2} + 7}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}$ 。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

解题步骤 10.2

移动 $\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}$ 。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)})})$

解题步骤 10.3

对 $\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} ({\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}^{1} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)})})$

解题步骤 10.4

对 $\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} ({\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}^{1} {\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}^{1})})$

解题步骤 10.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}^{1 + 1}})$

解题步骤 10.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}^{2}})$

解题步骤 10.7

将 ${\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}^{2}$ 重写为 $(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)$ 。

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解题步骤 10.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}$ 重写成 ${((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {({((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 10.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 10.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 10.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.7.4.1

约去公因数。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 10.7.4.2

重写表达式。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}^{1}})$

解题步骤 10.7.5

化简。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} ((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))})$

解题步骤 11

通过指数相加将 ${(x + 4)}^{2}$ 乘以 $x + 4$ 。

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解题步骤 11.1

移动 $x + 4$ 。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{(x + 4) {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} ((x^{4} + 8) (x - 4))})$

解题步骤 11.2

将 $x + 4$ 乘以 ${(x + 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 11.2.1

对 $x + 4$ 进行 $1$ 次方运算。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{1} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} ((x^{4} + 8) (x - 4))})$

解题步骤 11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{1 + 2} {(x - 4)}^{2} ((x^{4} + 8) (x - 4))})$

解题步骤 11.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{2} ((x^{4} + 8) (x - 4))})$

解题步骤 12

通过指数相加将 ${(x - 4)}^{2}$ 乘以 $x - 4$ 。

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解题步骤 12.1

移动 $x - 4$ 。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{3} ((x - 4) {(x - 4)}^{2}) (x^{4} + 8)})$

解题步骤 12.2

将 $x - 4$ 乘以 ${(x - 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 12.2.1

对 $x - 4$ 进行 $1$ 次方运算。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{3} ({(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{2}) (x^{4} + 8)})$

解题步骤 12.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{1 + 2} (x^{4} + 8)})$

解题步骤 12.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3} (x^{4} + 8)})$

解题步骤 13

使用根数乘积法则进行合并。

$\log (\frac{\sqrt{(x^{2} + 7) (x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3} (x^{4} + 8)})$

初级微积分 示例

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