初级微积分示例

$\log (x^{3} y^{2}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y}) - 3 \log (\frac{y}{x})$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \log (x \sqrt[3]{y})$ 。

$\log (x^{3} y^{2}) - \log ({(x \sqrt[3]{y})}^{2}) - 3 \log (\frac{y}{x})$

解题步骤 1.2

对 $x \sqrt[3]{y}$ 运用乘积法则。

$\log (x^{3} y^{2}) - \log (x^{2} {\sqrt[3]{y}}^{2}) - 3 \log (\frac{y}{x})$

解题步骤 1.3

将 ${\sqrt[3]{y}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{y^{2}}$ 。

$\log (x^{3} y^{2}) - \log (x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}) - 3 \log (\frac{y}{x})$

解题步骤 1.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \log (\frac{y}{x})$ 。

$\log (x^{3} y^{2}) - \log (x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}) - \log ({(\frac{y}{x})}^{3})$

解题步骤 1.5

对 $\frac{y}{x}$ 运用乘积法则。

$\log (x^{3} y^{2}) - \log (x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}) - \log (\frac{y^{3}}{x^{3}})$

解题步骤 2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log (\frac{x^{3} y^{2}}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}}) - \log (\frac{y^{3}}{x^{3}})$

解题步骤 3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log (\frac{\frac{x^{3} y^{2}}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

解题步骤 4

约去 $x^{3}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

从 $x^{3} y^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\log (\frac{\frac{x^{2} (x y^{2})}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

解题步骤 4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\log (\frac{\frac{x^{2} (x y^{2})}{x^{2} (\sqrt[3]{y^{2}})}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

$\log (\frac{\frac{x^{2} (x y^{2})}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

解题步骤 4.2.3

重写表达式。

$\log (\frac{\frac{x y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}}}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

解题步骤 5

将分子乘以分母的倒数。

$\log (\frac{x y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}}} \cdot \frac{x^{3}}{y^{3}})$

解题步骤 6

合并。

$\log (\frac{x y^{2} x^{3}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

解题步骤 7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 7.1

移动 $x^{3}$ 。

$\log (\frac{x^{3} x y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

解题步骤 7.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\log (\frac{x^{3} x^{1} y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

解题步骤 7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\log (\frac{x^{3 + 1} y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

解题步骤 7.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\log (\frac{x^{4} y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

解题步骤 8

约去 $y^{2}$ 和 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 8.1

从 $x^{4} y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\log (\frac{y^{2} x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

解题步骤 8.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.1

从 $\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\log (\frac{y^{2} x^{4}}{y^{2} (\sqrt[3]{y^{2}} y)})$

解题步骤 8.2.2

约去公因数。

$\log (\frac{y^{2} x^{4}}{y^{2} (\sqrt[3]{y^{2}} y)})$

解题步骤 8.2.3

重写表达式。

$\log (\frac{x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y})$

解题步骤 9

将 $\frac{x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}$ 。

$\log (\frac{x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y} \cdot \frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}})$

解题步骤 10

合并和化简分母。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}$ 。

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}})$

解题步骤 10.2

移动 $\sqrt[3]{y^{2}}$ 。

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y (\sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})})$

解题步骤 10.3

对 $\sqrt[3]{y^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y ({\sqrt[3]{y^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})})$

解题步骤 10.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{1 + 2}})$

解题步骤 10.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}})$

解题步骤 10.6

将 ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$ 重写为 $y^{2}$ 。

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解题步骤 10.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{y^{2}}$ 重写成 $y^{\frac{2}{3}}$ 。

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y {(y^{\frac{2}{3}})}^{3}})$

解题步骤 10.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{2}{3} \cdot 3}})$

解题步骤 10.6.3

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $3$ 。

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{2 \cdot 3}{3}}})$

解题步骤 10.6.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{6}{3}}})$

解题步骤 10.6.5

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.6.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{3 \cdot 2}{3}}})$

解题步骤 10.6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 10.6.5.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}})$

解题步骤 10.6.5.2.2

约去公因数。

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}})$

解题步骤 10.6.5.2.3

重写表达式。

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{2}{1}}})$

解题步骤 10.6.5.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{2}})$

解题步骤 11

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{1} y^{2}})$

解题步骤 11.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{1 + 2}})$

解题步骤 11.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{3}})$

解题步骤 12

化简分子。

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解题步骤 12.1

将 ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}}$ 。

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}}}{y^{3}})$

解题步骤 12.2

将 ${(y^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 12.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{y^{2 \cdot 2}}}{y^{3}})$

解题步骤 12.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{y^{4}}}{y^{3}})$

解题步骤 12.3

因式分解出 $y^{3}$ 。

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{y^{3} y}}{y^{3}})$

解题步骤 12.4

从根式下提出各项。

$\log (\frac{x^{4} y \sqrt[3]{y}}{y^{3}})$

解题步骤 13

约去 $y$ 和 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 13.1

从 $x^{4} y \sqrt[3]{y}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\log (\frac{y (x^{4} \sqrt[3]{y})}{y^{3}})$

解题步骤 13.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.1

从 $y^{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\log (\frac{y (x^{4} \sqrt[3]{y})}{y \cdot y^{2}})$

解题步骤 13.2.2

约去公因数。

$\log (\frac{y (x^{4} \sqrt[3]{y})}{y \cdot y^{2}})$

解题步骤 13.2.3

重写表达式。

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{y}}{y^{2}})$

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