初级微积分示例

$\ln (3) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x + 3) - 5 \ln (1 + \sqrt{x})$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (x + 3)$ 。

$\ln (3) + \ln ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - 5 \ln (1 + \sqrt{x})$

解题步骤 1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 5 \ln (1 + \sqrt{x})$ 。

$\ln (3) + \ln ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(1 + \sqrt{x})}^{5})$

解题步骤 2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(1 + \sqrt{x})}^{5})$

解题步骤 3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \sqrt{x})}^{5}})$

解题步骤 4

使用二项式定理。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1^{5} + 5 \cdot 1^{4} \sqrt{x} + 10 \cdot 1^{3} {\sqrt{x}}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5

化简每一项。

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解题步骤 5.1

一的任意次幂都为一。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \cdot 1^{4} \sqrt{x} + 10 \cdot 1^{3} {\sqrt{x}}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.2

一的任意次幂都为一。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \cdot 1 \sqrt{x} + 10 \cdot 1^{3} {\sqrt{x}}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 \cdot 1^{3} {\sqrt{x}}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.4

一的任意次幂都为一。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.5

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 {\sqrt{x}}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.6

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x^{\frac{2}{2}} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.4.1

约去公因数。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x^{\frac{2}{2}} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.6.4.2

重写表达式。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x^{1} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.6.5

化简。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.7

一的任意次幂都为一。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.8

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.9

将 ${\sqrt{x}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{x^{3}}$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 \sqrt{x^{3}} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.10

因式分解出 $x^{2}$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 \sqrt{x^{2} x} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.11

从根式下提出各项。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 (x \sqrt{x}) + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.12

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.13

将 ${\sqrt{x}}^{4}$ 重写为 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.13.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.13.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{\frac{1}{2} \cdot 4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.13.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{\frac{4}{2}} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.13.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.13.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.13.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.13.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.13.4.2.2

约去公因数。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.13.4.2.3

重写表达式。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{\frac{2}{1}} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.13.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{2} + {\sqrt{x}}^{5}})$

解题步骤 5.14

将 ${\sqrt{x}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{x^{5}}$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{2} + \sqrt{x^{5}}})$

解题步骤 5.15

将 $x^{5}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2} x$ 。

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解题步骤 5.15.1

因式分解出 $x^{4}$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{2} + \sqrt{x^{4} x}})$

解题步骤 5.15.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{2} + \sqrt{{(x^{2})}^{2} x}})$

解题步骤 5.16

从根式下提出各项。

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{2} + x^{2} \sqrt{x}})$

初级微积分 示例

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