初级微积分示例

$\ln (\frac{x}{x - 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

解题步骤 1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{\frac{x}{x - 1}}{x^{2} - 1})$

解题步骤 2

将分子乘以分母的倒数。

$\ln (\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1})$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\ln (\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1^{2}})$

解题步骤 3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\ln (\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)})$

解题步骤 4

乘以 $\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{x}{x - 1}$ 乘以 $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ 。

$\ln (\frac{x}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))})$

解题步骤 4.2

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{1} (x - 1) (x + 1)})$

解题步骤 4.3

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x + 1)})$

解题步骤 4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)})$

解题步骤 4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)})$

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