初级微积分示例

$\frac{1}{1 + \log_{c} (a b)} + \frac{1}{1 + \log_{a} (b c)} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

解题步骤 1

要将 $\frac{1}{1 + \log_{c} (a b)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \log_{a} (b c)}{1 + \log_{a} (b c)}$ 。

$\frac{1}{1 + \log_{c} (a b)} \cdot \frac{1 + \log_{a} (b c)}{1 + \log_{a} (b c)} + \frac{1}{1 + \log_{a} (b c)} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{1}{1 + \log_{a} (b c)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \log_{c} (a b)}{1 + \log_{c} (a b)}$ 。

$\frac{1}{1 + \log_{c} (a b)} \cdot \frac{1 + \log_{a} (b c)}{1 + \log_{a} (b c)} + \frac{1}{1 + \log_{a} (b c)} \cdot \frac{1 + \log_{c} (a b)}{1 + \log_{c} (a b)} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{a} (b c))$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{1 + \log_{c} (a b)}$ 乘以 $\frac{1 + \log_{a} (b c)}{1 + \log_{a} (b c)}$ 。

$\frac{1 + \log_{a} (b c)}{(1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{a} (b c))} + \frac{1}{1 + \log_{a} (b c)} \cdot \frac{1 + \log_{c} (a b)}{1 + \log_{c} (a b)} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{1 + \log_{a} (b c)}$ 乘以 $\frac{1 + \log_{c} (a b)}{1 + \log_{c} (a b)}$ 。

$\frac{1 + \log_{a} (b c)}{(1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{a} (b c))} + \frac{1 + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

解题步骤 3.3

重新排序 $(1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{a} (b c))$ 的因式。

$\frac{1 + \log_{a} (b c)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{1 + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + \log_{a} (b c) + 1 + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

解题步骤 5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

解题步骤 6

要将 $\frac{2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \log_{b} (c a)}{1 + \log_{b} (c a)}$ 。

$\frac{2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} \cdot \frac{1 + \log_{b} (c a)}{1 + \log_{b} (c a)} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

解题步骤 7

要将 $\frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}$ 。

$\frac{2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} \cdot \frac{1 + \log_{b} (c a)}{1 + \log_{b} (c a)} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)} \cdot \frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))$ 的形式。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}$ 乘以 $\frac{1 + \log_{b} (c a)}{1 + \log_{b} (c a)}$ 。

$\frac{(2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)} \cdot \frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$ 乘以 $\frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}$ 。

$\frac{(2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))} + \frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{b} (c a)) ((1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)))}$

解题步骤 8.3

重新排序 $(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))$ 的因式。

$\frac{(2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{b} (c a)) ((1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)))}$

解题步骤 8.4

重新排序 $(1 + \log_{b} (c a)) ((1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)))$ 的因式。

$\frac{(2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$\frac{(2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a)) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))$ 。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \log_{b} (c a) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \cdot 1 + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 + 2 \log_{b} (c a) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \cdot 1 + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \log_{b} (c a)$ 。

$\frac{2 + \log_{b} ({(c a)}^{2}) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \cdot 1 + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.2.3

对 $c a$ 运用乘积法则。

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \cdot 1 + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.2.4

将 $\log_{a} (b c)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \cdot 1 + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.2.5

将 $\log_{c} (a b)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.3

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))$ 。

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解题步骤 10.3.1

运用分配律。

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 1 (1 + \log_{c} (a b)) + \log_{a} (b c) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.3.2

运用分配律。

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 1 \cdot 1 + 1 \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.3.3

运用分配律。

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 1 \cdot 1 + 1 \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.4

化简每一项。

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解题步骤 10.4.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 1 + 1 \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.4.2

将 $\log_{c} (a b)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 1 + \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.4.3

将 $\log_{a} (b c)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 1 + \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.6

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.7

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a b (a b)) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.8

以因式分解的形式重写 $\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a b (a b)) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)$ 。

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解题步骤 10.8.1

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 10.8.1.1

移动 $a$ 。

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a \cdot a b \cdot b) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.8.1.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} b \cdot b) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.8.2

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b$ 。

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解题步骤 10.8.2.1

移动 $b$ 。

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} (b \cdot b)) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.8.2.2

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} b^{2}) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.8.3

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b$ 。

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解题步骤 10.8.3.1

移动 $b$ 。

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} b^{2}) + \log_{a} (b \cdot b c \cdot c) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.8.3.2

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} b^{2}) + \log_{a} (b^{2} c \cdot c) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.8.4

通过指数相加将 $c$ 乘以 $c$ 。

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解题步骤 10.8.4.1

移动 $c$ 。

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} b^{2}) + \log_{a} (b^{2} (c \cdot c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

解题步骤 10.8.4.2

将 $c$ 乘以 $c$ 。

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} b^{2}) + \log_{a} (b^{2} c^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

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