初级微积分示例

${(3 - 2 i)}^{3}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(3)}^{3 - k} \cdot {(- 2 i)}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(3)}^{3 - 0} \cdot {(- 2 i)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(3)}^{3 - 1} \cdot {(- 2 i)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(3)}^{3 - 2} \cdot {(- 2 i)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(3)}^{3 - 3} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(- 2 i)}^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4

化简多项式结果。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 ${(3)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

${(3)}^{3} \cdot {(- 2 i)}^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 \cdot {(- 2 i)}^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.3

对 $- 2 i$ 运用乘积法则。

$27 \cdot ({(- 2)}^{0} i^{0}) + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$27 \cdot (1 i^{0}) + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.5

将 $i^{0}$ 乘以 $1$ 。

$27 \cdot i^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$27 \cdot 1 + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.7

将 $27$ 乘以 $1$ 。

$27 + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.8

通过指数相加将 $3$ 乘以 ${(3)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.8.1

将 $3$ 乘以 ${(3)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.8.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$27 + 3^{1} \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.8.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$27 + 3^{1 + 2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.8.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$27 + 3^{3} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.9

化简 $3^{3} \cdot {(- 2 i)}^{1}$ 。

$27 + 3^{3} \cdot (- 2 i) + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.10

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 + 27 \cdot (- 2 i) + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.11

将 $- 2$ 乘以 $27$ 。

$27 - 54 i + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.12

计算指数。

$27 - 54 i + 3 \cdot 3 \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.13

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$27 - 54 i + 9 \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.14

对 $- 2 i$ 运用乘积法则。

$27 - 54 i + 9 \cdot ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.15

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$27 - 54 i + 9 \cdot (4 i^{2}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.16

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$27 - 54 i + 9 \cdot (4 \cdot - 1) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.17

乘以 $9 (4 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 4.1.17.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$27 - 54 i + 9 \cdot - 4 + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.17.2

将 $9$ 乘以 $- 4$ 。

$27 - 54 i - 36 + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.18

将 ${(3)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$27 - 54 i - 36 + {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.19

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$27 - 54 i - 36 + 1 \cdot {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.20

将 ${(- 2 i)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$27 - 54 i - 36 + {(- 2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.21

对 $- 2 i$ 运用乘积法则。

$27 - 54 i - 36 + {(- 2)}^{3} i^{3}$

解题步骤 4.1.22

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 - 54 i - 36 - 8 i^{3}$

解题步骤 4.1.23

因式分解出 $i^{2}$ 。

$27 - 54 i - 36 - 8 (i^{2} \cdot i)$

解题步骤 4.1.24

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$27 - 54 i - 36 - 8 (- 1 \cdot i)$

解题步骤 4.1.25

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$27 - 54 i - 36 - 8 (- i)$

解题步骤 4.1.26

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$27 - 54 i - 36 + 8 i$

解题步骤 4.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.2.1

从 $27$ 中减去 $36$ 。

$- 9 - 54 i + 8 i$

解题步骤 4.2.2

将 $- 54 i$ 和 $8 i$ 相加。

$- 9 - 46 i$

初级微积分 示例

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