初级微积分示例

$- 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot i$

解题步骤 1

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$- 1 - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 3

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 4

代入 $a = - 1$ 和 $b = - \frac{1 \sqrt{3}}{3}$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1 \sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5

求 $| z |$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{{(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.2.1

对 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.4

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.4.1

约去公因数。

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.4.4.2

重写表达式。

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.4.5

计算指数。

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{3}{9} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.6

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{3 (1)}{9} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.6.2

约去公因数。

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解题步骤 5.6.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.6.2.2

约去公因数。

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.6.2.3

重写表达式。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.7

化简表达式。

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解题步骤 5.7.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + 1}$

解题步骤 5.7.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}$

解题步骤 5.7.3

在公分母上合并分子。

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{3}}$

解题步骤 5.7.4

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$| z | = \sqrt{\frac{4}{3}}$

解题步骤 5.8

将 $\sqrt{\frac{4}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.9

化简分子。

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解题步骤 5.9.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.9.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.10

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.11

合并和化简分母。

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解题步骤 5.11.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.11.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.11.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.11.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.11.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.11.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.11.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.11.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.11.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.11.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.11.6.4.1

约去公因数。

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.11.6.4.2

重写表达式。

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.11.6.5

计算指数。

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 6

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1})$

解题步骤 7

因为 $\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1}$ 的反正切得到一个在第三象限中的角，所以该角度值为 $\frac{7 π}{6}$ 。

$θ = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 8

代入 $θ = \frac{7 π}{6}$ 和 $| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 的值。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))}$

初级微积分 示例

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