初级微积分示例

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5}{2} \cdot i$

解题步骤 1

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $i$ 。

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5 i}{2}$

解题步骤 2

要将 $6 i$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{3} + 6 i \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 i}{2}$

解题步骤 3

组合 $6 i$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{3} + \frac{6 i \cdot 2}{2} + \frac{5 i}{2}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} + \frac{17 i}{2}$

解题步骤 5

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 6

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 7

代入 $a = \frac{2}{3}$ 和 $b = \frac{17}{2}$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(\frac{17}{2})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 8

求 $| z |$ 。

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解题步骤 8.1

对 $\frac{17}{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\frac{17^{2}}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.2

对 $17$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{289}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.4

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 8.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{3^{2}}}$

解题步骤 8.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{9}}$

解题步骤 8.7

要将 $\frac{289}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9}}$

解题步骤 8.8

要将 $\frac{4}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 8.9

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $36$ 的形式。

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解题步骤 8.9.1

将 $\frac{289}{4}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 8.9.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 8.9.3

将 $\frac{4}{9}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4}}$

解题步骤 8.9.4

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{36}}$

解题步骤 8.10

在公分母上合并分子。

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9 + 4 \cdot 4}{36}}$

解题步骤 8.11

化简分子。

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解题步骤 8.11.1

将 $289$ 乘以 $9$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 4 \cdot 4}{36}}$

解题步骤 8.11.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 16}{36}}$

解题步骤 8.11.3

将 $2601$ 和 $16$ 相加。

$| z | = \sqrt{\frac{2617}{36}}$

解题步骤 8.12

将 $\sqrt{\frac{2617}{36}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$

解题步骤 8.13

化简分母。

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解题步骤 8.13.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{6^{2}}}$

解题步骤 8.13.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$

解题步骤 9

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}})$

解题步骤 10

因为 $\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}}$ 的反正切得出位于第一象限的一个角，所以其角度为 $1.49252518$ 。

$θ = 1.49252518$

解题步骤 11

代入 $θ = 1.49252518$ 和 $| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$ 的值。

$\frac{\sqrt{2617}}{6 (\cos (1.49252518) + i \sin (1.49252518))}$

初级微积分 示例

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