初级微积分示例

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 9}$ , $g (x) = \sqrt{x - 2}$

解题步骤 1

求函数的商。

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解题步骤 1.1

使用 $\frac{f (x)}{g (x)}$ 中的实际函数来替换函数指示符。

$\frac{\frac{1}{x^{2} - 9}}{\sqrt{x - 2}}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{x^{2} - 9} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

解题步骤 1.2.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

解题步骤 1.2.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

解题步骤 1.2.3

将 $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ 。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} (\frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}})$

解题步骤 1.2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ 。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}}$

解题步骤 1.2.4.2

对 $\sqrt{x - 2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2}}$

解题步骤 1.2.4.3

对 $\sqrt{x - 2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1}}$

解题步骤 1.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}}$

解题步骤 1.2.4.6

将 ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ 重写为 $x - 2$ 。

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解题步骤 1.2.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x - 2}$ 重写成 ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{1}}$

解题步骤 1.2.4.6.5

化简。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

解题步骤 1.2.5

将 $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ 。

$\frac{\sqrt{x - 2}}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)}$

解题步骤 2

将 $\sqrt{x - 2}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x - 2 \geq 0$

解题步骤 3

在不等式两边同时加上 $2$ 。

$x \geq 2$

解题步骤 4

将 $\frac{\sqrt{x - 2}}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$(x + 3) (x - 3) (x - 2) = 0$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 5.2

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 5.2.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 5.3

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 5.3.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 5.4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 5.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 5.5

最终解为使 $(x + 3) (x - 3) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 3, 3, 2$

解题步骤 6

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(2, 3) \cup (3, \infty)$

集合符号：

${x | x > 2, x \neq 3}$

解题步骤 7

初级微积分 示例

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