初级微积分示例

$\sin (w) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin (\frac{w}{2})$

解题步骤 1

使用正弦的定义求单位圆直角三角形的已知边。象限将决定每一个值的符号。

$\sin (w) = \frac{对边}{斜边}$

解题步骤 2

求单位圆三角形的邻边。由于斜边和对边已知，使用勾股定理即可求最后一条边。

$邻边 = \sqrt{{斜边}^{2} - {对边}^{2}}$

解题步骤 3

替换方程中的已知值。

$邻边 = \sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 4

化简根式内部。

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解题步骤 4.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

邻边 $= \sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

邻边 $= \sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

邻边 $= \sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

邻边 $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

邻边 $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.4.2

重写表达式。

邻边 $= \sqrt{4 - 3}$

解题步骤 4.2.5

计算指数。

邻边 $= \sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

邻边 $= \sqrt{4 - 3}$

解题步骤 4.4

从 $4$ 中减去 $3$ 。

邻边 $= \sqrt{1}$

解题步骤 4.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

邻边 $= 1$

解题步骤 5

使用正弦的定义求 $\sin (w)$ 的值。

$\sin (w) = \frac{对边}{斜边}$

解题步骤 6

代入已知值。

$\sin (w) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7

将 $\sin (\frac{w}{2})$ 展开为 $\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$ 。

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解题步骤 7.1

使用正弦半角公式。

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (w)}{2}}$

解题步骤 7.2

将 $\sqrt{\frac{1 - \cos (w)}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.3

将 $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.4

合并和化简分母。

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解题步骤 7.4.1

将 $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 7.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 7.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 7.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 7.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 7.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.6.4.1

约去公因数。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.4.6.4.2

重写表达式。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 7.4.6.5

计算指数。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.5

使用根数乘积法则进行合并。

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (w)) \cdot 2}}{2}$

解题步骤 7.6

将 $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (w)) \cdot 2}}{2}$ 中的因式重新排序。

$\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$

解题步骤 8

使用 $c o s$ 的定义求 $\cos (w)$ 的值。在本例中，即 $\cos (w) = \frac{1}{2}$ 。

$\cos (w) = \frac{1}{2}$

解题步骤 9

将值代入 $\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$ 中。

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (1 - \frac{1}{2})}}{2}$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}}{2}$

解题步骤 10.2

在公分母上合并分子。

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{2 - 1}{2})}}{2}$

解题步骤 10.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

解题步骤 10.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{\frac{2}{2}}}{2}$

解题步骤 10.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{1}}{2}$

解题步骤 10.6

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{1}{2}$

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