初级微积分示例

$\cos (\frac{5 π}{8}) = - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ , $\sin (\frac{5 π}{16})$

解题步骤 1

使用余弦的定义求单位圆直角三角形的已知边。象限将决定每一个值的符号。

$\cos (\frac{5 π}{8}) = \frac{相邻}{斜边}$

解题步骤 2

求单位圆三角形的对边。因为已知邻边和斜边，可以使用勾股定理求第三边。

$取反 = \sqrt{{斜边}^{2} - {相邻}^{2}}$

解题步骤 3

替换方程中的已知值。

$取反 = \sqrt{{(1)}^{2} - {(- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 4

化简根式内部。

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解题步骤 4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 。

对边 $= \sqrt{(1 - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}) (1 - (- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}))}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

组合 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 和 $v$ 。

对边 $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 - (- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}))}$

解题步骤 4.2.2

组合 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 和 $v$ 。

对边 $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

解题步骤 4.2.3

乘以 $- - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

对边 $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + 1 (\frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}))}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $\frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}$ 乘以 $1$ 。

对边 $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

解题步骤 5

使用正弦的定义求 $\sin (\frac{5 π}{8})$ 的值。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{对边}{斜边}$

解题步骤 6

代入已知值。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{\sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}}{1}$

解题步骤 7

化简右边。

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解题步骤 7.1

化简。

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解题步骤 7.1.1

用 $\sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$ 除以 $1$ 。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

解题步骤 7.1.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{(\frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

解题步骤 7.2

在公分母上合并分子。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - (2 - \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

解题步骤 7.3

以因式分解的形式重写 $\frac{2 - (2 - \sqrt{2}) v}{2}$ 。

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解题步骤 7.3.1

运用分配律。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 1 \cdot 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

解题步骤 7.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

解题步骤 7.3.3

乘以 $- - \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 7.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + 1 \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

解题步骤 7.3.3.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

解题步骤 7.3.4

运用分配律。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

解题步骤 7.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot (\frac{2}{2} + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

解题步骤 7.5

在公分母上合并分子。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot \frac{2 + (2 - \sqrt{2}) v}{2}}$

解题步骤 7.6

运用分配律。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot \frac{2 + 2 v - \sqrt{2} v}{2}}$

解题步骤 7.7

将 $\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2}$ 乘以 $\frac{2 + 2 v - \sqrt{2} v}{2}$ 。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 7.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{4}}$

解题步骤 7.9

将 $\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))$ 。

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解题步骤 7.9.1

从 $(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{4}}$

解题步骤 7.9.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{2^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 7.9.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}$

解题步骤 7.10

从根式下提出各项。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}$

解题步骤 7.11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}$ 。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{\sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}}{2}$

解题步骤 8

计算 $\sin (\frac{5 π}{16})$ 。

$0.83146961$

解题步骤 9

将值代入 $0.83146961$ 中。

$\sin (\frac{5 π}{16}) = 0.83146961$

初级微积分 示例

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