初级微积分示例

$(\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ 之间）之间的 $\sin (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$ 和 $(\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ 三点之间的三角形。

取反： $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

邻边： $\frac{\sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

对 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{5^{1}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.2.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{5}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{5}{4} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.4.1

对 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{{(2 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.4.2

对 $2 \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.5.2

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.5.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.5.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.5.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.5.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5^{1}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.5.2.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5}{5^{2}}}$

解题步骤 2.6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5}{25}}$

解题步骤 2.6.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{20}{25}}$

解题步骤 2.6.3

约去 $20$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.3.1

从 $20$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{5 (4)}{25}}$

解题步骤 2.6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.3.2.1

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

解题步骤 2.6.3.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

解题步骤 2.6.3.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4}{5}}$

解题步骤 2.7

要将 $\frac{5}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\sqrt{\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4}{5}}$

解题步骤 2.8

要将 $\frac{4}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 2.9

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $20$ 的形式。

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解题步骤 2.9.1

将 $\frac{5}{4}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 2.9.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5}{20} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 2.9.3

将 $\frac{4}{5}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5}{20} + \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4}}$

解题步骤 2.9.4

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5}{20} + \frac{4 \cdot 4}{20}}$

解题步骤 2.10

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5 + 4 \cdot 4}{20}}$

解题步骤 2.11

化简分子。

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解题步骤 2.11.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{\frac{25 + 4 \cdot 4}{20}}$

解题步骤 2.11.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{\frac{25 + 16}{20}}$

解题步骤 2.11.3

将 $25$ 和 $16$ 相加。

$\sqrt{\frac{41}{20}}$

解题步骤 2.12

将 $\sqrt{\frac{41}{20}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{20}}$ 。

$\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{20}}$

解题步骤 2.13

化简分母。

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解题步骤 2.13.1

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 2.13.1.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{4 (5)}}$

解题步骤 2.13.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}$

解题步骤 2.13.2

从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{41}}{2 \sqrt{5}}$

解题步骤 2.14

将 $\frac{\sqrt{41}}{2 \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{\sqrt{41}}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 2.15

合并和化简分母。

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解题步骤 2.15.1

将 $\frac{\sqrt{41}}{2 \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 2.15.2

移动 $\sqrt{5}$ 。

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

解题步骤 2.15.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

解题步骤 2.15.4

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

解题步骤 2.15.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.15.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 2.15.7

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.15.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.15.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.15.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.15.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.15.7.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.15.7.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{1}}$

解题步骤 2.15.7.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 2.16

化简分子。

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解题步骤 2.16.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{41 \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 2.16.2

将 $41$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\sqrt{205}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 2.17

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\sqrt{205}}{10}$

解题步骤 3

因为 $\sin (θ) = \frac{取反}{斜边}$ ，所以 $\sin (θ) = \frac{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{205}}{10}}$ 。

$\frac{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{205}}{10}}$

解题步骤 4

化简 $\sin (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{10}{\sqrt{205}}$

解题步骤 4.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5 (2)}{\sqrt{205}}$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{205}}$

解题步骤 4.2.3

重写表达式。

$\sin (θ) = 2 \sqrt{5} (\frac{2}{\sqrt{205}})$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{2}{\sqrt{205}}$ 和 $2$ 。

$\sin (θ) = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{205}} \cdot \sqrt{5}$

解题步骤 4.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sin (θ) = \frac{4}{\sqrt{205}} \cdot \sqrt{5}$

解题步骤 4.5

组合 $\frac{4}{\sqrt{205}}$ 和 $\sqrt{5}$ 。

$\sin (θ) = \frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{205}}$

解题步骤 4.6

把 $\sqrt{5}$ 和 $\sqrt{205}$ 组合为一个单根式。

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{5}{205}}$

解题步骤 4.7

约去 $5$ 和 $205$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{5 (1)}{205}}$

解题步骤 4.7.2

约去公因数。

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解题步骤 4.7.2.1

从 $205$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 41}}$

解题步骤 4.7.2.2

约去公因数。

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 41}}$

解题步骤 4.7.2.3

重写表达式。

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{1}{41}}$

解题步骤 4.8

将 $\sqrt{\frac{1}{41}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{41}}$ 。

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{41}})$

解题步骤 4.9

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (θ) = 4 (\frac{1}{\sqrt{41}})$

解题步骤 4.10

将 $\frac{1}{\sqrt{41}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ 。

$\sin (θ) = 4 (\frac{1}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}})$

解题步骤 4.11

合并和化简分母。

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解题步骤 4.11.1

将 $\frac{1}{\sqrt{41}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ 。

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}})$

解题步骤 4.11.2

对 $\sqrt{41}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}})$

解题步骤 4.11.3

对 $\sqrt{41}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}})$

解题步骤 4.11.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}})$

解题步骤 4.11.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}})$

解题步骤 4.11.6

将 ${\sqrt{41}}^{2}$ 重写为 $41$ 。

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解题步骤 4.11.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{41}$ 重写成 $41^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 4.11.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 4.11.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 4.11.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.11.6.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 4.11.6.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41})$

解题步骤 4.11.6.5

计算指数。

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41})$

解题步骤 4.12

组合 $4$ 和 $\frac{\sqrt{41}}{41}$ 。

$\sin (θ) = \frac{4 \sqrt{41}}{41}$

解题步骤 5

求近似值。

$\sin (θ) = \frac{4 \sqrt{41}}{41} \approx 0.62469504$

初级微积分 示例

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