初级微积分示例

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(\cos (x))}^{2 - k} \cdot {(- \sin (x))}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(\cos (x))}^{2 - 0} \cdot {(- \sin (x))}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(\cos (x))}^{2 - 1} \cdot {(- \sin (x))}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(\cos (x))}^{2 - 2} \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot \cos^{2} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{0} + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

解题步骤 4

化简多项式结果。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{0} + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

解题步骤 4.1.2

对 $- \sin (x)$ 运用乘积法则。

$\cos^{2} (x) \cdot ({(- 1)}^{0} \sin^{0} (x)) + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

解题步骤 4.1.3

使用乘法的交换性质重写。

${(- 1)}^{0} \cos^{2} (x) \sin^{0} (x) + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

解题步骤 4.1.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 \cos^{2} (x) \sin^{0} (x) + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

解题步骤 4.1.5

将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) \sin^{0} (x) + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

解题步骤 4.1.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\cos^{2} (x) \cdot 1 + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

解题步骤 4.1.7

将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

解题步骤 4.1.8

化简。

$\cos^{2} (x) + 2 \cdot \cos (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

解题步骤 4.1.9

化简。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot (- \sin (x)) + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

解题步骤 4.1.10

将 $2 \cos (x)$ 和 $- \sin (x)$ 重新排序。

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot (2 \cos (x)) + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

解题步骤 4.1.11

添加圆括号。

$\cos^{2} (x) - (\sin (x) \cdot (2 \cos (x))) + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

解题步骤 4.1.12

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$\cos^{2} (x) - (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

解题步骤 4.1.13

使用正弦倍角公式。

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

解题步骤 4.1.14

将 $\cos^{0} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

解题步骤 4.1.15

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

解题步骤 4.1.16

将 ${(- \sin (x))}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + {(- \sin (x))}^{2}$

解题步骤 4.1.17

对 $- \sin (x)$ 运用乘积法则。

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + {(- 1)}^{2} \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.1.18

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.1.19

将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2

移动 $\sin^{2} (x)$ 。

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - \sin (2 x)$

解题步骤 4.3

重新整理项。

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \sin (2 x)$

解题步骤 4.4

使用勾股恒等式。

$1 - \sin (2 x)$

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