初级微积分示例

$y = | \cot (\frac{x}{4}) |$

解题步骤 1

求绝对值的顶点。在本例中， $y = | \cot (\frac{x}{4}) |$ 的顶点是 $(2 π + 4 π n, | \cot (\frac{2 π + 4 π n}{4}) |)$ 。

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解题步骤 1.1

要求顶点的 $x$ 坐标，请将绝对值 $\cot (\frac{x}{4})$ 的内部设为等于 $0$ 。在本例中，即 $\cot (\frac{x}{4}) = 0$ 。

$\cot (\frac{x}{4}) = 0$

解题步骤 1.2

求解方程 $\cot (\frac{x}{4}) = 0$ 以求出绝对值顶点的 $x$ 坐标。

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解题步骤 1.2.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$\frac{x}{4} = arccot (0)$

解题步骤 1.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.1

$arccot (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{x}{4} = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.3

等式两边同时乘以 $4$ 。

$4 \frac{x}{4} = 4 \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4

化简方程的两边。

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解题步骤 1.2.4.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.4.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.1.1.1

约去公因数。

$4 \frac{x}{4} = 4 \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4.1.1.2

重写表达式。

$x = 4 \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 (2) \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

约去公因数。

$x = 2 \cdot 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

重写表达式。

$x = 2 π$

解题步骤 1.2.5

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$\frac{x}{4} = π + \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

等式两边同时乘以 $4$ 。

$4 \frac{x}{4} = 4 (π + \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.2.6.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1.1

约去公因数。

$4 \frac{x}{4} = 4 (π + \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 4 (π + \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1

化简 $4 (π + \frac{π}{2})$ 。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 4 (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.2

化简项。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 4 (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x = 4 \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1.2.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 (2) \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.2.3.2

约去公因数。

$x = 2 \cdot 2 \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.2.3.3

重写表达式。

$x = 2 (π \cdot 2 + π)$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.3

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = 2 (2 π + π)$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1.4.1

将 $2 π$ 和 $π$ 相加。

$x = 2 (3 π)$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = 6 π$

解题步骤 1.2.7

求 $\cot (\frac{x}{4})$ 的周期。

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解题步骤 1.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 1.2.7.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{4}$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| \frac{1}{4} |}$

解题步骤 1.2.7.3

$\frac{1}{4}$ 约为 $0.25$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.2.7.4

将分子乘以分母的倒数。

$π \cdot 4$

解题步骤 1.2.7.5

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$4 π$

解题步骤 1.2.8

$\cot (\frac{x}{4})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π + 4 π n, 6 π + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.9

合并答案。

$x = 2 π + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

使用表达式中的 $2 π + 4 π n$ 替换变量 $x$ 。

$y = | \cot (\frac{2 π + 4 π n}{4}) |$

解题步骤 1.4

绝对值顶点为 $(2 π + 4 π n, | \cot (\frac{2 π + 4 π n}{4}) |)$ 。

$(2 π + 4 π n, | \cot (\frac{2 π + 4 π n}{4}) |)$

解题步骤 2

求 $y = | \cot (\frac{x}{4}) |$ 的定义域，以便挑出一组 $x$ 值来求点列表，这样有助于我们画出绝对值函数的图像。

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解题步骤 2.1

将 $\cot (\frac{x}{4})$ 的自变量设为等于 $π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\frac{x}{4} = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

等式两边同时乘以 $4$ 。

$4 \frac{x}{4} = 4 (π n)$

解题步骤 2.2.2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.2.2.1

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1.1

约去公因数。

$4 \frac{x}{4} = 4 (π n)$

解题步骤 2.2.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 4 (π n)$

解题步骤 2.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.2.1

去掉圆括号。

$x = 4 π n$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

集合符号：

${x | x \neq 4 π n}$ ，对于任意整数 $n$

集合符号：

${x | x \neq 4 π n}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

可以利用顶点附近的点 $(2 π + 4 π n, | \cot (\frac{2 π + 4 π n}{4}) |),$ 画出绝对值的图像

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 π + 4 π n & | \cot (\frac{2 π + 4 π n}{4}) | \end{array}$

解题步骤 4

初级微积分 示例

初级微积分示例