初级微积分示例

$5 x^{2} + 10 x + 5 y^{2} + 19 y = 9$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$5 x^{2} + 10 x + 5 y^{2} + 19 y - 9 = 0$

解题步骤 2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3

将 $a = 5$ 、 $b = 19$ 和 $c = 5 x^{2} + 10 x - 9$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9))}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $19$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

将 $5$ 乘以 $- 20$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 4.1.4.2

将 $10$ 乘以 $- 20$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 4.1.4.3

将 $- 20$ 乘以 $- 9$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 4.1.5

将 $361$ 和 $180$ 相加。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

对 $19$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 5.1.2

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 5.1.4

化简。

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解题步骤 5.1.4.1

将 $5$ 乘以 $- 20$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 5.1.4.2

将 $10$ 乘以 $- 20$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 5.1.4.3

将 $- 20$ 乘以 $- 9$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 5.1.5

将 $361$ 和 $180$ 相加。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 5.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{- 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 5.4

将 $- 19$ 重写为 $- 1 (19)$ 。

$y = \frac{- 1 \cdot 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 5.5

从 $\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

解题步骤 5.6

从 $- 1 (19) - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

解题步骤 5.7

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

对 $19$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 6.1.4

化简。

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解题步骤 6.1.4.1

将 $5$ 乘以 $- 20$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 6.1.4.2

将 $10$ 乘以 $- 20$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 6.1.4.3

将 $- 20$ 乘以 $- 9$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 6.1.5

将 $361$ 和 $180$ 相加。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 6.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 6.4

从 $- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $- 19$ 重写为 $- 1 (19)$ 。

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 6.4.2

从 $- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

解题步骤 6.4.3

从 $- 1 (19) - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

解题步骤 6.4.4

将 $- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ 重写为 $- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ 。

$y = \frac{- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

解题步骤 6.5

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 7

最终答案为两个解的组合。

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 8

父函数是给定函数类型的最简形式。

$y = x^{2}$

解题步骤 9

求解 $y$ 的 $5 y^{2} + 19 y = 9 - 5 x^{2} - 10 x$ 。

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解题步骤 9.1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 9.1.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$5 y^{2} + 19 y - 9 = - 5 x^{2} - 10 x$

解题步骤 9.1.2

在等式两边都加上 $5 x^{2}$ 。

$5 y^{2} + 19 y - 9 + 5 x^{2} = - 10 x$

解题步骤 9.1.3

在等式两边都加上 $10 x$ 。

$5 y^{2} + 19 y - 9 + 5 x^{2} + 10 x = 0$

解题步骤 9.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 9.3

将 $a = 5$ 、 $b = 19$ 和 $c = - 9 + 5 x^{2} + 10 x$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x))}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.4

化简。

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解题步骤 9.4.1

化简分子。

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解题步骤 9.4.1.1

对 $19$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.4.1.2

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.4.1.3

运用分配律。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.4.1.4

化简。

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解题步骤 9.4.1.4.1

将 $- 20$ 乘以 $- 9$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.4.1.4.2

将 $5$ 乘以 $- 20$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.4.1.4.3

将 $10$ 乘以 $- 20$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.4.1.5

将 $361$ 和 $180$ 相加。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.4.1.6

重新排序项。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.4.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 9.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 9.5.1

化简分子。

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解题步骤 9.5.1.1

对 $19$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.5.1.2

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.5.1.3

运用分配律。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.5.1.4

化简。

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解题步骤 9.5.1.4.1

将 $- 20$ 乘以 $- 9$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.5.1.4.2

将 $5$ 乘以 $- 20$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.5.1.4.3

将 $10$ 乘以 $- 20$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.5.1.5

将 $361$ 和 $180$ 相加。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.5.1.6

重新排序项。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.5.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 9.5.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{- 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 9.5.4

将 $- 19$ 重写为 $- 1 (19)$ 。

$y = \frac{- 1 \cdot 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 9.5.5

从 $\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

解题步骤 9.5.6

从 $- 1 (19) - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

解题步骤 9.5.7

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 9.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 9.6.1

化简分子。

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解题步骤 9.6.1.1

对 $19$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.6.1.3

运用分配律。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.6.1.4

化简。

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解题步骤 9.6.1.4.1

将 $- 20$ 乘以 $- 9$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.6.1.4.2

将 $5$ 乘以 $- 20$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.6.1.4.3

将 $10$ 乘以 $- 20$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.6.1.5

将 $361$ 和 $180$ 相加。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.6.1.6

重新排序项。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.6.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 9.6.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 9.6.4

从 $- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 9.6.4.1

将 $- 19$ 重写为 $- 1 (19)$ 。

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 9.6.4.2

从 $- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

解题步骤 9.6.4.3

从 $- 1 (19) - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

解题步骤 9.6.4.4

将 $- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ 重写为 $- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ 。

$y = \frac{- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

解题步骤 9.6.5

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 9.7

最终答案为两个解的组合。

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 10

假设 $y = x^{2}$ 为 $f (x) = x^{2}$ ， $5 y^{2} + 19 y = 9 - 5 x^{2} - 10 x$ 为 $g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}, - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$ 。

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}, - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

解题步骤 11

给定的函数来自不同的类型。转换函数不会改变其类型，因此无法将 $f (x) = x^{2}$ 转换为 $g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$ 。

不可能的几何变换

解题步骤 12

初级微积分 示例

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