初级微积分示例

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x + 7$ , $[- 3, - 1]$

解题步骤 1

中值定理表明，如果 $f$ 是区间 $[a, b]$ 上的一个实数连续函数且 $u$ 是介于 $f (a)$ 和 $f (b)$ 之间的一个数，那么将存在包含在区间 $[a, b]$ 中的 $c$ ，如 $f (c) = u$ 。

$u = f (c) = 0$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

计算 $f (a) = f (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 7$ 。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 3) = 4 \cdot - 27 + 2 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 7$

解题步骤 3.1.2

将 $4$ 乘以 $- 27$ 。

$f (- 3) = - 108 + 2 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 7$

解题步骤 3.1.3

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 3) = - 108 + 2 \cdot 9 - 6 \cdot - 3 + 7$

解题步骤 3.1.4

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$f (- 3) = - 108 + 18 - 6 \cdot - 3 + 7$

解题步骤 3.1.5

将 $- 6$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- 3) = - 108 + 18 + 18 + 7$

解题步骤 3.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 108$ 和 $18$ 相加。

$f (- 3) = - 90 + 18 + 7$

解题步骤 3.2.2

将 $- 90$ 和 $18$ 相加。

$f (- 3) = - 72 + 7$

解题步骤 3.2.3

将 $- 72$ 和 $7$ 相加。

$f (- 3) = - 65$

解题步骤 4

计算 $f (b) = f (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 7$ 。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 1) = 4 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 7$

解题步骤 4.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = - 4 + 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 7$

解题步骤 4.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = - 4 + 2 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 7$

解题步骤 4.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (- 1) = - 4 + 2 - 6 \cdot - 1 + 7$

解题步骤 4.1.5

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = - 4 + 2 + 6 + 7$

解题步骤 4.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 4$ 和 $2$ 相加。

$f (- 1) = - 2 + 6 + 7$

解题步骤 4.2.2

将 $- 2$ 和 $6$ 相加。

$f (- 1) = 4 + 7$

解题步骤 4.2.3

将 $4$ 和 $7$ 相加。

$f (- 1) = 11$

解题步骤 5

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx - 1.83607126$

解题步骤 6

中值定理表明，因为 $f$ 在 $[- 3, - 1]$ 上是连续函数，所以在区间 $[- 65, 11]$ 上有一个根 $f (c) = 0$ 。

区间 $[- 3, - 1]$ 上的根位于 $x \approx - 1.83607126$ 。

解题步骤 7

初级微积分 示例

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