初级微积分示例

$f (2) = - 1$ , $f^{- 1} (9) = 4$

解题步骤 1

将各个平面方程转化为标准形式。

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解题步骤 1.1

将 $2$ 移到 $f$ 的左侧。

$2 f = - 1, f^{- 1} (9) = 4$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 f = - 1, \frac{1}{f} \cdot 9 = 4$

解题步骤 1.2.2

组合 $\frac{1}{f}$ 和 $9$ 。

$2 f = - 1, \frac{9}{f} = 4$

解题步骤 2

要求经过点 $(p, q, r)$ 且垂直于平面 $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ 和平面 $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ 直线的交点：

1. 求平面 $P_{1}$ 和平面 $P_{2}$ 的法向量 $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 和 $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 。检验其点积是否为 0。

2. 创建一个参数方程组，比如 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 和 $z = r + c t$ 。

3. 将这些等式代入平面方程 $P_{2}$ ，使得 $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ 并求解 $t$ 。

4. 使用 $t$ 的值，求解参数方程 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 和 $z = r + c t$ ，以求 $t$ 的交集 $(x, y, z)$ 。

解题步骤 3

求每一平面的法向量并通过计算点积来判断它们是否垂直。

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解题步骤 3.1

$P_{1}$ 为 $2 f = - 1$ 。求平面方程 $a x + b y + c z = d$ 的法向量 $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 。

$n_{1} = ⟨ 0, 0, 0 ⟩$

解题步骤 3.2

$P_{2}$ 为 $\frac{9}{f} = 4$ 。求平面方程 $e x + f y + g z = h$ 的法向量 $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 。

$n_{2} = ⟨ 0, 0, 0 ⟩$

解题步骤 3.3

将法向量中相对应的 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 数值乘积相加，计算 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 的点积。

$0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4

化简点积。

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解题步骤 3.4.1

去掉圆括号。

$0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2.2

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2.3

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0$

解题步骤 3.4.3

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0$

解题步骤 3.4.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 4

因为点积为 $0$ ，所以平面互相垂直。

无交点。

初级微积分 示例

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