初级微积分示例

$\sin (x) = \frac{2}{9}$ , $0 < x < \frac{π}{2}$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\sin (x)$ 。

$0 = \frac{2}{9} - \sin (x)$

解题步骤 2

中值定理表明，如果 $f$ 是区间 $[a, b]$ 上的一个实数连续函数且 $u$ 是介于 $f (a)$ 和 $f (b)$ 之间的一个数，那么将存在包含在区间 $[a, b]$ 中的 $c$ ，如 $f (c) = u$ 。

$u = f (c) = 0$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

计算 $f (a) = f (0) = \frac{2}{9} - \sin (0)$ 。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (0) = \frac{2}{9} - 0$

解题步骤 4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = \frac{2}{9} + 0$

解题步骤 4.2

将 $\frac{2}{9}$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = \frac{2}{9}$

解题步骤 5

计算 $f (b) = f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - \sin (\frac{π}{2})$ 。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1$

解题步骤 5.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 5.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

解题步骤 5.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 1 \cdot 9}{9}$

解题步骤 5.5

化简分子。

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解题步骤 5.5.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 9}{9}$

解题步骤 5.5.2

从 $2$ 中减去 $9$ 。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 7}{9}$

解题步骤 5.6

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{7}{9}$

解题步骤 6

Since $0$ is on the interval $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ , solve the equation for $x$ at the root.

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$ 。

$\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$

解题步骤 6.2

从等式两边同时减去 $\frac{2}{9}$ 。

$- \sin (x) = - \frac{2}{9}$

解题步骤 6.3

将 $- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

解题步骤 6.3.2.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\sin (x) = \frac{\frac{2}{9}}{1}$

解题步骤 6.3.3.2

用 $\frac{2}{9}$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{2}{9}$

解题步骤 6.4

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{2}{9})$

解题步骤 6.5

化简右边。

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解题步骤 6.5.1

计算 $\arcsin (\frac{2}{9})$ 。

$x = 0.22409309$

解题步骤 6.6

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

解题步骤 6.7

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.7.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 - 0.22409309$

解题步骤 6.7.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

解题步骤 6.7.3

从 $3.14159265$ 中减去 $0.22409309$ 。

$x = 2.91749956$

解题步骤 6.8

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.8.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.8.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.9

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.22409309 + 2 π n, 2.91749956 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

中值定理表明，因为 $f$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上是连续函数，所以在区间 $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ 上有一个根 $f (c) = 0$ 。

区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的根位于。

解题步骤 8

初级微积分 示例

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