初级微积分示例

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\frac{x^{2}}{4}$ 。

$\frac{y^{2}}{25} = 1 - \frac{x^{2}}{4}$

解题步骤 2

等式两边同时乘以 $25$ 。

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

化简左边。

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解题步骤 3.1.1

约去 $25$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.1

约去公因数。

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

解题步骤 3.1.1.2

重写表达式。

$y^{2} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

解题步骤 3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.1

化简 $25 (1 - \frac{x^{2}}{4})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

运用分配律。

$y^{2} = 25 \cdot 1 + 25 (- \frac{x^{2}}{4})$

解题步骤 3.2.1.2

将 $25$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} = 25 + 25 (- \frac{x^{2}}{4})$

解题步骤 3.2.1.3

乘以 $25 (- \frac{x^{2}}{4})$ 。

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解题步骤 3.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$y^{2} = 25 - 25 \frac{x^{2}}{4}$

解题步骤 3.2.1.3.2

组合 $- 25$ 和 $\frac{x^{2}}{4}$ 。

$y^{2} = 25 + \frac{- 25 x^{2}}{4}$

解题步骤 3.2.1.4

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = 25 - \frac{25 x^{2}}{4}$

解题步骤 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{4}}$

解题步骤 5

化简 $\pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{4}}$ 。

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解题步骤 5.1

使用指数书写表达式。

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解题步骤 5.1.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{5^{2} - \frac{25 x^{2}}{4}}$

解题步骤 5.1.2

将 $\frac{25 x^{2}}{4}$ 重写为 ${(\frac{5 x}{2})}^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{5^{2} - {(\frac{5 x}{2})}^{2}}$

解题步骤 5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 5$ 和 $b = \frac{5 x}{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 7

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 8

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt{\frac{5 \cdot 2 + 5 x}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 10

从 $5 \cdot 2 + 5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 10.1

从 $5 \cdot 2$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \sqrt{\frac{5 (2) + 5 x}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 10.2

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \sqrt{\frac{5 (2) + 5 (x)}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 10.3

从 $5 (2) + 5 (x)$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 11

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 12

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 13

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 \cdot 2 - 5 x}{2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 14

从 $5 \cdot 2 - 5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 14.1

从 $5 \cdot 2$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2) - 5 x}{2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 14.2

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2) + 5 (- x)}{2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 14.3

从 $5 (2) + 5 (- x)$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2 - x)}{2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2 - x)}{2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 15

将 $\frac{5 (2 + x)}{2}$ 乘以 $\frac{5 (2 - x)}{2}$ 。

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x) (5 (2 - x))}{2 \cdot 2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 16

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$y = \sqrt{\frac{25 (2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 17

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \sqrt{\frac{25 (2 + x) (2 - x)}{4}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 18

将 $\frac{25 (2 + x) (2 - x)}{4}$ 重写为 ${(\frac{5}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ 。

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解题步骤 18.1

从 $25 (2 + x) (2 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $5^{2}$ 。

$y = \sqrt{\frac{5^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 18.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$y = \sqrt{\frac{5^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 18.3

重新整理分数 $\frac{5^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$y = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 19

从根式下提出各项。

$y = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 20

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 21

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 22

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 23

在公分母上合并分子。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 \cdot 2 + 5 x}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 24

从 $5 \cdot 2 + 5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 24.1

从 $5 \cdot 2$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2) + 5 x}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 24.2

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2) + 5 (x)}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 24.3

从 $5 (2) + 5 (x)$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 25

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 26

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{5 x}{2})}$

解题步骤 27

在公分母上合并分子。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 \cdot 2 - 5 x}{2}}$

解题步骤 28

从 $5 \cdot 2 - 5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 28.1

从 $5 \cdot 2$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2) - 5 x}{2}}$

解题步骤 28.2

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2) + 5 (- x)}{2}}$

解题步骤 28.3

从 $5 (2) + 5 (- x)$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2 - x)}{2}}$

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2 - x)}{2}}$

解题步骤 29

将 $\frac{5 (2 + x)}{2}$ 乘以 $\frac{5 (2 - x)}{2}$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x) (5 (2 - x))}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 30

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{25 (2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 31

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{25 (2 + x) (2 - x)}{4}}$

解题步骤 32

将 $\frac{25 (2 + x) (2 - x)}{4}$ 重写为 ${(\frac{5}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ 。

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解题步骤 32.1

从 $25 (2 + x) (2 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $5^{2}$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}$

解题步骤 32.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 32.3

重新整理分数 $\frac{5^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

解题步骤 33

从根式下提出各项。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - (\frac{5}{2} \cdot \sqrt{(2 + x) (2 - x)})$

解题步骤 34

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

解题步骤 35

因为已知方程 $y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}, - \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$ 不能写成 $y = k x^{2}$ 的形式，所以 $y$ 不直接随 $x^{2}$ 变化。

$y$ 不直接随 $x$ 的变化而变化

初级微积分 示例

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