初级微积分示例

$\frac{1}{2 \ln (2)} - \frac{1}{3 \ln (3)} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (2)$ 。

$\frac{1}{\ln (2^{2})} - \frac{1}{3 \ln (3)} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

解题步骤 1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{3 \ln (3)} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

解题步骤 1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (3)$ 。

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (3^{3})} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

解题步骤 1.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

解题步骤 1.5

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \ln (4)$ 。

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (4^{4})} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

解题步骤 1.6

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

解题步骤 1.7

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln (5)$ 。

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (5^{5})}$

解题步骤 1.8

对 $5$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{1}{\ln (4)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\ln (27)}{\ln (27)}$ 。

$\frac{1}{\ln (4)} \cdot \frac{\ln (27)}{\ln (27)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{1}{\ln (27)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\ln (4)}{\ln (4)}$ 。

$\frac{1}{\ln (4)} \cdot \frac{\ln (27)}{\ln (27)} - \frac{1}{\ln (27)} \cdot \frac{\ln (4)}{\ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\ln (4) \ln (27)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{\ln (4)}$ 乘以 $\frac{\ln (27)}{\ln (27)}$ 。

$\frac{\ln (27)}{\ln (4) \ln (27)} - \frac{1}{\ln (27)} \cdot \frac{\ln (4)}{\ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{\ln (27)}$ 乘以 $\frac{\ln (4)}{\ln (4)}$ 。

$\frac{\ln (27)}{\ln (4) \ln (27)} - \frac{\ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $\ln (4) \ln (27)$ 的因式。

$\frac{\ln (27)}{\ln (27) \ln (4)} - \frac{\ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (27) - \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

解题步骤 6

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

解题步骤 7

要将 $\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\ln (256)}{\ln (256)}$ 。

$\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)} \cdot \frac{\ln (256)}{\ln (256)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

解题步骤 8

要将 $\frac{1}{\ln (256)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)}$ 。

$\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)} \cdot \frac{\ln (256)}{\ln (256)} + \frac{1}{\ln (256)} \cdot \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

解题步骤 9

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\ln (27) \ln (4) \ln (256)$ 的形式。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)}$ 乘以 $\frac{\ln (256)}{\ln (256)}$ 。

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256)}{\ln (27) \ln (4) \ln (256)} + \frac{1}{\ln (256)} \cdot \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

解题步骤 9.2

将 $\frac{1}{\ln (256)}$ 乘以 $\frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)}$ 。

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256)}{\ln (27) \ln (4) \ln (256)} + \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (256) (\ln (27) \ln (4))} - \frac{1}{\ln (3125)}$

解题步骤 9.3

重新排序 $\ln (27) \ln (4) \ln (256)$ 的因式。

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} + \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (256) (\ln (27) \ln (4))} - \frac{1}{\ln (3125)}$

解题步骤 9.4

重新排序 $\ln (256) (\ln (27) \ln (4))$ 的因式。

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} + \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

解题步骤 10

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

解题步骤 11

要将 $\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\ln (3125)}{\ln (3125)}$ 。

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} \cdot \frac{\ln (3125)}{\ln (3125)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

解题步骤 12

要将 $- \frac{1}{\ln (3125)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$ 。

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} \cdot \frac{\ln (3125)}{\ln (3125)} - \frac{1}{\ln (3125)} \cdot \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$

解题步骤 13

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\ln (256) \ln (27) \ln (4) \ln (3125)$ 的形式。

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解题步骤 13.1

将 $\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$ 乘以 $\frac{\ln (3125)}{\ln (3125)}$ 。

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4) \ln (3125)} - \frac{1}{\ln (3125)} \cdot \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$

解题步骤 13.2

将 $\frac{1}{\ln (3125)}$ 乘以 $\frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$ 。

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4) \ln (3125)} - \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (3125) (\ln (256) \ln (27) \ln (4))}$

解题步骤 13.3

重新排序 $\ln (256) \ln (27) \ln (4) \ln (3125)$ 的因式。

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)} - \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (3125) (\ln (256) \ln (27) \ln (4))}$

解题步骤 13.4

重新排序 $\ln (3125) (\ln (256) \ln (27) \ln (4))$ 的因式。

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)} - \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)}$

解题步骤 14

在公分母上合并分子。

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125) - \ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)}$

解题步骤 15

运用分配律。

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) \ln (3125) + \ln (27) \ln (4) \ln (3125) - \ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)}$

解题步骤 16

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) \ln (3125) + \ln (27) \ln (4) \ln (3125) - \ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)}$

小数形式：

$0.47400433 \dots$

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