初级微积分示例

${(1 + 3 \log_{2} (\sqrt[4]{2}))}^{2}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \log_{2} (\sqrt[4]{2})$ 。

${(1 + \log_{2} ({\sqrt[4]{2}}^{3}))}^{2}$

解题步骤 1.2

将 ${\sqrt[4]{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt[4]{2^{3}}$ 。

${(1 + \log_{2} (\sqrt[4]{2^{3}}))}^{2}$

解题步骤 1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

${(1 + \log_{2} (\sqrt[4]{8}))}^{2}$

解题步骤 2

使用基数公式的变化式重写 $\log_{2} (\sqrt[4]{8})$ 。

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解题步骤 2.1

如果 $a$ 和 $b$ 都大于 $0$ 且不等于 $1$ ，并且 $x$ 大于 $0$ ，则可使用换底公式。

${(1 + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)})}^{2}$

解题步骤 2.2

使用 $b = 10$ 将变量的值代入基本公式变换中。

${(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})}^{2}$

解题步骤 3

将 ${(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})}^{2}$ 重写为 $(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}) (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$ 。

$(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}) (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$

解题步骤 4

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}) (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$1 (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}) + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot 1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$

解题步骤 5

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 + 1 \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot 1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$

解题步骤 5.1.2

将 $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ 乘以 $1$ 。

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot 1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$

解题步骤 5.1.3

将 $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ 乘以 $1$ 。

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$

解题步骤 5.1.4

乘以 $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ 。

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解题步骤 5.1.4.1

将 $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ 乘以 $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ 。

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8}) \log (\sqrt[4]{8})}{\log (2) \log (2)}$

解题步骤 5.1.4.2

对 $\log (\sqrt[4]{8})$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{1} (\sqrt[4]{8}) \log (\sqrt[4]{8})}{\log (2) \log (2)}$

解题步骤 5.1.4.3

对 $\log (\sqrt[4]{8})$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{1} (\sqrt[4]{8}) \log^{1} (\sqrt[4]{8})}{\log (2) \log (2)}$

解题步骤 5.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{{\log (\sqrt[4]{8})}^{1 + 1}}{\log (2) \log (2)}$

解题步骤 5.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log (2) \log (2)}$

解题步骤 5.1.4.6

对 $\log (2)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{1} (2) \log (2)}$

解题步骤 5.1.4.7

对 $\log (2)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{1} (2) \log^{1} (2)}$

解题步骤 5.1.4.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{{\log (2)}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.1.4.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

解题步骤 5.2

在公分母上合并分子。

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8}) + \log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

解题步骤 6

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8} \sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

使用根数乘积法则进行合并。

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8 \cdot 8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

解题步骤 7.2

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{64})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

解题步骤 7.3

将 $64$ 重写为 $2^{4} \cdot 4$ 。

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解题步骤 7.3.1

从 $64$ 中分解出因数 $16$ 。

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{16 (4)})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

解题步骤 7.3.2

将 $16$ 重写为 $2^{4}$ 。

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{2^{4} \cdot 4})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

解题步骤 7.4

从根式下提出各项。

$1 + \frac{\log (2 \sqrt[4]{4})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

解题步骤 7.5

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$1 + \frac{\log (2 \sqrt[4]{2^{2}})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

解题步骤 7.6

将 $\sqrt[4]{2^{2}}$ 重写为 $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ 。

$1 + \frac{\log (2 \sqrt{\sqrt{2^{2}}})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

解题步骤 7.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$1 + \frac{\log (2 \sqrt{2})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$1 + \frac{\log (2 \sqrt{2})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

小数形式：

$3.0625$

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