初级微积分示例

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}}$ 重写为 $e^{\ln ({(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}})}$ 。

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{1}{x - 3}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}})$ 。

$lim_{x \to 8} e^{\frac{1}{x - 3} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x - 3} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x - 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x - 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

解题步骤 2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

解题步骤 2.6

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

解题步骤 2.7

将极限移入对数中。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{2 x - 1}{x + 2})}$

解题步骤 2.8

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

解题步骤 2.9

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

解题步骤 2.10

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

解题步骤 2.11

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

解题步骤 2.12

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2})}$

解题步骤 2.13

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

解题步骤 3

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{8 - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

解题步骤 3.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{8 - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

解题步骤 3.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{8 - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$e^{\frac{1}{8 - 3} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

解题步骤 4.1.2

从 $8$ 中减去 $3$ 。

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{16 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

解题步骤 4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{16 - 1}{8 + 2})}$

解题步骤 4.2.3

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{15}{8 + 2})}$

解题步骤 4.3

将 $8$ 和 $2$ 相加。

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{15}{10})}$

解题步骤 4.4

约去 $15$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

从 $15$ 中分解出因数 $5$ 。

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{5 (3)}{10})}$

解题步骤 4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})}$

解题步骤 4.4.2.2

约去公因数。

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})}$

解题步骤 4.4.2.3

重写表达式。

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{3}{2})}$

解题步骤 4.5

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $\ln (\frac{3}{2})$ 。

$e^{\frac{\ln (\frac{3}{2})}{5}}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e^{\frac{\ln (\frac{3}{2})}{5}}$

小数形式：

$1.08447177 \dots$

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