初级微积分示例

$\frac{lim_{x \to 0} \csc (x) - \cot (x)}{(x) \csc (x)}$

解题步骤 1

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \csc (x) - \cot (x)$

解题步骤 2

制作一个表格展示函数 $\csc (x) - \cot (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \csc (x) - \cot (x) \\ - 0.1 & - 0.0500417 \\ - 0.01 & - 0.00500004 \\ - 0.001 & - 0.0005 \\ - 0.0001 & - 0.00005 \\ - 0.00001 & - 0.000005 \end{array}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $\csc (x) - \cot (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (x) - \cot (x)$

解题步骤 5

制作一个表格展示函数 $\csc (x) - \cot (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \csc (x) - \cot (x) \\ 0.1 & 0.0500417 \\ 0.01 & 0.00500004 \\ 0.001 & 0.0005 \\ 0.0001 & 0.00005 \\ 0.00001 & 0.000005 \end{array}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $\csc (x) - \cot (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$\frac{0}{(x) \csc (x)}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

分离分数。

$\frac{0}{x} \cdot \frac{1}{\csc (x)}$

解题步骤 7.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{0}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

解题步骤 7.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{0}{x} (1 \sin (x))$

解题步骤 7.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{x} \sin (x)$

解题步骤 7.5

用 $0$ 除以 $x$ 。

$0 \sin (x)$

解题步骤 7.6

将 $0$ 乘以 $\sin (x)$ 。

$0$

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