初级微积分示例

$lim_{x \to - 1} \frac{{(x^{3} - 2 x - 1)}^{2}}{x^{4} - 2 x + 1}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 1} {(x^{3} - 2 x - 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

解题步骤 2

使用极限幂法则把 ${(x^{3} - 2 x - 1)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x^{3} - 2 x - 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

解题步骤 5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

解题步骤 6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 9

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 10

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 11

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 11.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 11.3

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 11.4

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

化简分子。

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解题步骤 12.1.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{{(- 1 - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 12.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(- 1 + 2 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 12.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(- 1 + 2 - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 12.1.4

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{{(1 - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 12.1.5

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 12.1.6

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 12.2

化简分母。

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解题步骤 12.2.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{0}{1 - 2 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 12.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{0}{1 + 2 + 1}$

解题步骤 12.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{0}{3 + 1}$

解题步骤 12.2.4

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{4}$

解题步骤 12.3

用 $0$ 除以 $4$ 。

$0$

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