初级微积分示例

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b i}{a^{2} - b^{2}})$

解题步骤 1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = b$ 。

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)})$

解题步骤 2

要将 $\frac{a}{a^{2} + b^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$ 。

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} \cdot \frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)})$

解题步骤 3

要将 $- \frac{b i}{(a + b) (a - b)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ 。

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} \cdot \frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}})$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(a^{2} + b^{2}) (a + b) (a - b)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{a}{a^{2} + b^{2}}$ 乘以 $\frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$ 。

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}})$

解题步骤 4.2

将 $\frac{b i}{(a + b) (a - b)}$ 乘以 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ 。

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))} - \frac{b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})})$

解题步骤 4.3

重新排序 $(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))$ 的因式。

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})} - \frac{b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})})$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$(a + b i) \frac{a ((a + b) (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(a + b) (a - b)$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$(a + b i) \frac{a (a (a - b) + b (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + a (- b) + b (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.2

合并 $a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ 中相反的项。

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解题步骤 6.2.1

按照 $a (- b)$ 和 $b a$ 重新排列因数。

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a - a b + a b + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.2.2

将 $- a b$ 和 $a b$ 相加。

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + 0 + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.2.3

将 $a \cdot a$ 和 $0$ 相加。

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.3

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$(a + b i) \frac{a (a^{2} + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - b \cdot b) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.3.3

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

移动 $b$ 。

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - (b \cdot b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.3.3.2

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$(a + b i) \frac{a \cdot a^{2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.5

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a^{2}$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $a$ 乘以 $a^{2}$ 。

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解题步骤 6.5.1.1

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$(a + b i) \frac{a^{1} a^{2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(a + b i) \frac{a^{1 + 2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.5.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$(a + b i) \frac{a^{3} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.6

使用乘法的交换性质重写。

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.7

运用分配律。

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b i b^{2}}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.8

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b^{2}$ 。

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解题步骤 6.8.1

移动 $b^{2}$ 。

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - (b^{2} b) i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.8.2

将 $b^{2}$ 乘以 $b$ 。

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解题步骤 6.8.2.1

对 $b$ 进行 $1$ 次方运算。

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - (b^{2} b^{1}) i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{2 + 1} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 6.8.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

解题步骤 7

将 $a + b i$ 乘以 $\frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$ 。

$\frac{(a + b i) (a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i)}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

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