初级微积分示例

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{h}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{1}{{(x + h)}^{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{h}$

解题步骤 1.2

要将 $\frac{1}{x^{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ 。

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${(x + h)}^{3} x^{3}$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{{(x + h)}^{3}}$ 乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$\frac{\frac{x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 乘以 $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ 。

$\frac{\frac{x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} + \frac{{(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 ${(x + h)}^{3} x^{3}$ 的因式。

$\frac{\frac{x^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}} + \frac{{(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{3} + {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.5

以因式分解的形式重写 $\frac{x^{3} + {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$ 。

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解题步骤 1.5.1

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = x + h$ 。

$\frac{\frac{(x + x + h) (x^{2} - x (x + h) + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.5.2

化简。

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解题步骤 1.5.2.1

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x (x + h) + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.5.2.2

运用分配律。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x \cdot x - x h + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.5.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.2.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - (x \cdot x) - x h + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.5.2.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.5.2.4

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + (x + h) (x + h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.5.2.5

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 1.5.2.5.1

运用分配律。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x (x + h) + h (x + h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.5.2.5.2

运用分配律。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x \cdot x + x h + h (x + h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.5.2.5.3

运用分配律。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.5.2.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.5.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.6.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + x h + h x + h \cdot h)}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.5.2.6.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + x h + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.5.2.6.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 1.5.2.6.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + h x + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.5.2.6.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.5.2.7

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{\frac{(2 x + h) (0 - x h + x^{2} + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.5.2.8

从 $0$ 中减去 $x h$ 。

$\frac{\frac{(2 x + h) (- x h + x^{2} + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.5.2.9

将 $- x h$ 和 $2 h x$ 相加。

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解题步骤 1.5.2.9.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - 1 h x + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.5.2.9.2

将 $- 1 h x$ 和 $2 h x$ 相加。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} + 1 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 1.5.2.10

将 $h$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 3

合并。

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2}) \cdot 1}{x^{3} {(x + h)}^{3} h}$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

将 $2 x + h$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3} h}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3} h}$ 中的因式重新排序。

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} h {(x + h)}^{3}}$

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