初级微积分示例

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$

解题步骤 1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (225)}}$

解题步骤 2

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

解题步骤 3

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

解题步骤 4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}$

解题步骤 5

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 6

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \sqrt{\frac{2}{2} \cdot \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 6.2

合并。

$- \sqrt{\frac{2 (1 + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

解题步骤 7

运用分配律。

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

解题步骤 8

通过相约进行化简。

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解题步骤 8.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1

约去公因数。

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

解题步骤 8.1.2

重写表达式。

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

解题步骤 8.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 8.2.2

约去公因数。

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 8.2.3

重写表达式。

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 - \sqrt{2}}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 - \sqrt{2}}}$

解题步骤 9.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}}$

解题步骤 10

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}}$

解题步骤 11

合并分数。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

解题步骤 11.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

解题步骤 11.3

化简。

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{2}}$

解题步骤 12

化简分子。

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解题步骤 12.1

对 $2 + \sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

解题步骤 12.2

对 $2 + \sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1} {(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2}}$

解题步骤 12.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1 + 1}}{2}}$

解题步骤 12.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{2}}{2}}$

解题步骤 13

将 ${(2 + \sqrt{2})}^{2}$ 重写为 $(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ 。

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{2}}$

解题步骤 14

使用 FOIL 方法展开 $(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 14.1

运用分配律。

$- \sqrt{\frac{2 (2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

解题步骤 14.2

运用分配律。

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

解题步骤 14.3

运用分配律。

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 15

化简并合并同类项。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 15.1.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 15.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

解题步骤 15.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

解题步骤 15.1.5

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

解题步骤 15.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

解题步骤 15.2

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$- \sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 15.3

将 $2 \sqrt{2}$ 和 $2 \sqrt{2}$ 相加。

$- \sqrt{\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 16

约去 $6 + 4 \sqrt{2}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 16.2

从 $4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}}$

解题步骤 16.3

从 $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}}$

解题步骤 16.4

约去公因数。

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解题步骤 16.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}$

解题步骤 16.4.2

约去公因数。

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}$

解题步骤 16.4.3

重写表达式。

$- \sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}}$

解题步骤 16.4.4

用 $3 + 2 \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

解题步骤 17

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

小数形式：

$- 2.41421356 \dots$

初级微积分 示例

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