初级微积分示例

${(0.25)}^{5} = 4^{\frac{5 x - 3}{3}} {(0.125)}^{6 x}$

解题步骤 1

将方程重写为 $4^{\frac{5 x - 3}{3}} \cdot {0.125}^{6 x} = {0.25}^{5}$ 。

$4^{\frac{5 x - 3}{3}} \cdot {0.125}^{6 x} = {0.25}^{5}$

解题步骤 2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}} \cdot {0.125}^{6 x}) = \ln ({0.25}^{5})$

解题步骤 3

展开左边。

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解题步骤 3.1

将 $\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}} \cdot {0.125}^{6 x})$ 重写为 $\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}}) + \ln ({0.125}^{6 x})$ 。

$\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}}) + \ln ({0.125}^{6 x}) = \ln ({0.25}^{5})$

解题步骤 3.2

通过将 $\frac{5 x - 3}{3}$ 移到对数外来展开 $\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}})$ 。

$\frac{5 x - 3}{3} \ln (4) + \ln ({0.125}^{6 x}) = \ln ({0.25}^{5})$

解题步骤 3.3

通过将 $6 x$ 移到对数外来展开 $\ln ({0.125}^{6 x})$ 。

$\frac{5 x - 3}{3} \ln (4) + 6 x \ln (0.125) = \ln ({0.25}^{5})$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{5 x - 3}{3}$ 和 $\ln (4)$ 。

$\frac{(5 x - 3) \ln (4)}{3} + 6 x \ln (0.125) = \ln ({0.25}^{5})$

解题步骤 4

化简左边。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{(5 x - 3) \ln (4)}{3} + 6 x \ln (0.125)$ 中的因式重新排序。

$\frac{\ln (4) (5 x - 3)}{3} + 6 x \ln (0.125) = \ln ({0.25}^{5})$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

对 $0.25$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{\ln (4) (5 x - 3)}{3} + 6 x \ln (0.125) = \ln (0.00097656)$

解题步骤 6

化简左边。

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解题步骤 6.1

要将 $6 x \ln (0.125)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\ln (4) (5 x - 3)}{3} + 6 x \ln (0.125) \cdot \frac{3}{3} = \ln (0.00097656)$

解题步骤 6.2

化简项。

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解题步骤 6.2.1

组合 $6 x \ln (0.125)$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\ln (4) (5 x - 3)}{3} + \frac{6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

解题步骤 6.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (4) (5 x - 3) + 6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

解题步骤 6.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.1

运用分配律。

$\frac{\ln (4) (5 x) + \ln (4) \cdot - 3 + 6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

解题步骤 6.3.2

将 $- 3$ 移到 $\ln (4)$ 的左侧。

$\frac{\ln (4) \cdot (5 x) - 3 \cdot \ln (4) + 6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

解题步骤 6.3.3

将 $5$ 移到 $\ln (4)$ 的左侧。

$\frac{5 \ln (4) x - 3 \ln (4) + 6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

解题步骤 6.3.4

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$\frac{5 \ln (4) x - 3 \ln (4) + 18 x \ln (0.125)}{3} = \ln (0.00097656)$

解题步骤 6.3.5

重新排序项。

$\frac{5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4)}{3} = \ln (0.00097656)$

解题步骤 7

两边同时乘以 $3$ 。

$\frac{5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4)}{3} \cdot 3 = \ln (0.00097656) \cdot 3$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简左边。

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解题步骤 8.1.1

化简 $\frac{5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4)}{3} \cdot 3$ 。

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解题步骤 8.1.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4)}{3} \cdot 3 = \ln (0.00097656) \cdot 3$

解题步骤 8.1.1.1.2

重写表达式。

$5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4) = \ln (0.00097656) \cdot 3$

解题步骤 8.1.1.2

将 $5 x \ln (4)$ 和 $18 x \ln (0.125)$ 重新排序。

$18 x \ln (0.125) + 5 x \ln (4) - 3 \ln (4) = \ln (0.00097656) \cdot 3$

解题步骤 8.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.1

将 $3$ 移到 $\ln (0.00097656)$ 的左侧。

$18 x \ln (0.125) + 5 x \ln (4) - 3 \ln (4) = 3 \ln (0.00097656)$

解题步骤 9

求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

在等式两边都加上 $3 \ln (4)$ 。

$18 x \ln (0.125) + 5 x \ln (4) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$

解题步骤 9.2

从 $18 x \ln (0.125) + 5 x \ln (4)$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 9.2.1

从 $18 x \ln (0.125)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (18 \ln (0.125)) + 5 x \ln (4) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$

解题步骤 9.2.2

从 $5 x \ln (4)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (18 \ln (0.125)) + x (5 \ln (4)) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$

解题步骤 9.2.3

从 $x (18 \ln (0.125)) + x (5 \ln (4))$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$

解题步骤 9.3

将 $x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$ 中的每一项除以 $18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)$ 并化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$ 中的每一项都除以 $18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)$ 。

$\frac{x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4))}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} = \frac{3 \ln (0.00097656)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} + \frac{3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

解题步骤 9.3.2

化简左边。

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解题步骤 9.3.2.1

约去 $18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4))}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} = \frac{3 \ln (0.00097656)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} + \frac{3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

解题步骤 9.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{3 \ln (0.00097656)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} + \frac{3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

解题步骤 9.3.3

化简右边。

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解题步骤 9.3.3.1

在公分母上合并分子。

$x = \frac{3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

解题步骤 9.3.3.2

从 $3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 9.3.3.2.1

从 $3 \ln (0.00097656)$ 中分解出因数 $3$ 。

$x = \frac{3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

解题步骤 9.3.3.2.2

从 $3 \ln (4)$ 中分解出因数 $3$ 。

$x = \frac{3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

解题步骤 9.3.3.2.3

从 $3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$ 中分解出因数 $3$ 。

$x = \frac{3 (\ln (0.00097656) + \ln (4))}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{3 (\ln (0.00097656) + \ln (4))}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

小数形式：

$x = 0.\overline{54}$

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