初级微积分示例

$2 (7^{2 x}) + 7^{x + 1} = 15$

解题步骤 1

将 $7^{x + 1}$ 重写为 $7^{x} \cdot 7^{1}$ 。

$2 \cdot 7^{2 x} + 7^{x} \cdot 7 = 15$

解题步骤 2

将 $7^{2 x}$ 重写为乘方形式。

$2 \cdot {(7^{x})}^{2} + 7^{x} \cdot 7 = 15$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $7^{x}$ 。

$2 u^{2} + u \cdot 7 = 15$

解题步骤 4

将 $7$ 移到 $u$ 的左侧。

$2 u^{2} + 7 u = 15$

解题步骤 5

求解 $u$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $15$ 。

$2 u^{2} + 7 u - 15 = 0$

解题步骤 5.2

分组因式分解。

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解题步骤 5.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ 并且它们的和为 $b = 7$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $7 u$ 中分解出因数 $7$ 。

$2 u^{2} + 7 (u) - 15 = 0$

解题步骤 5.2.1.2

把 $7$ 重写为 $- 3$ 加 $10$

$2 u^{2} + (- 3 + 10) u - 15 = 0$

解题步骤 5.2.1.3

运用分配律。

$2 u^{2} - 3 u + 10 u - 15 = 0$

解题步骤 5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(2 u^{2} - 3 u) + 10 u - 15 = 0$

解题步骤 5.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (2 u - 3) + 5 (2 u - 3) = 0$

解题步骤 5.2.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u - 3$ 来因式分解多项式。

$(2 u - 3) (u + 5) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 u - 3 = 0$

$u + 5 = 0$

解题步骤 5.4

将 $2 u - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $2 u - 3$ 设为等于 $0$ 。

$2 u - 3 = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $u$ 的 $2 u - 3 = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$2 u = 3$

解题步骤 5.4.2.2

将 $2 u = 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将 $2 u = 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 5.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 5.4.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{3}{2}$

解题步骤 5.5

将 $u + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $u + 5$ 设为等于 $0$ 。

$u + 5 = 0$

解题步骤 5.5.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$u = - 5$

解题步骤 5.6

最终解为使 $(2 u - 3) (u + 5) = 0$ 成立的所有值。

$u = \frac{3}{2}, - 5$

解题步骤 6

代入 $\frac{3}{2}$ 替换 $u = 7^{x}$ 中的 $u$ 。

$\frac{3}{2} = 7^{x}$

解题步骤 7

求解 $\frac{3}{2} = 7^{x}$ 。

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解题步骤 7.1

将方程重写为 $7^{x} = \frac{3}{2}$ 。

$7^{x} = \frac{3}{2}$

解题步骤 7.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (7^{x}) = \ln (\frac{3}{2})$

解题步骤 7.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (7^{x})$ 。

$x \ln (7) = \ln (\frac{3}{2})$

解题步骤 7.4

将 $x \ln (7) = \ln (\frac{3}{2})$ 中的每一项除以 $\ln (7)$ 并化简。

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解题步骤 7.4.1

将 $x \ln (7) = \ln (\frac{3}{2})$ 中的每一项都除以 $\ln (7)$ 。

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

解题步骤 7.4.2

化简左边。

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解题步骤 7.4.2.1

约去 $\ln (7)$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

解题步骤 7.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

解题步骤 8

代入 $- 5$ 替换 $u = 7^{x}$ 中的 $u$ 。

$- 5 = 7^{x}$

解题步骤 9

求解 $- 5 = 7^{x}$ 。

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解题步骤 9.1

将方程重写为 $7^{x} = - 5$ 。

$7^{x} = - 5$

解题步骤 9.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (7^{x}) = \ln (- 5)$

解题步骤 9.3

因为 $\ln (- 5)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 9.4

$7^{x} = - 5$ 无解

无解

解题步骤 10

列出使方程成立的解。

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

小数形式：

$x = 0.20836784 \dots$

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