初级微积分示例

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) = \sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x) = 0$

解题步骤 2

使用基于 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式的 $1 + \tan^{2} (x)$ 替换 $\sec^{2} (x)$ 。

$(1 + \tan^{2} (x)) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x) = 0$

解题步骤 3

将 $- \sec^{2} (x)$ 乘以 $\csc^{2} (x)$ 。

$1 + \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = 0$

解题步骤 4

化简左边。

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解题步骤 4.1

化简 $1 + \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.1.1

重新整理项。

$\tan^{2} (x) + 1 + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = 0$

解题步骤 4.1.2

使用勾股恒等式。

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = 0$

解题步骤 4.1.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.1.3.1

移动 $- \sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 0$

解题步骤 4.1.3.2

从 $\sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $- \sec^{2} (x)$ 。

$- \sec^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 0$

解题步骤 4.1.3.3

从 $- \sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ 中分解出因数 $- \sec^{2} (x)$ 。

$- \sec^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) (\csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) = 0$

解题步骤 4.1.3.4

从 $- \sec^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) (\csc^{2} (x))$ 中分解出因数 $- \sec^{2} (x)$ 。

$- \sec^{2} (x) \cdot (- 1 + \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) = 0$

解题步骤 4.1.4

重新整理项。

$- \sec^{2} (x) \cdot (\csc^{2} (x) - 1) + \csc^{2} (x) = 0$

解题步骤 4.1.5

使用勾股恒等式。

$- \sec^{2} (x) \cdot \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 0$

解题步骤 4.1.6

化简表达式。

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解题步骤 4.1.6.1

将 $\sec^{2} (x) \cdot \cot^{2} (x)$ 重写为 ${(\sec (x) \cot (x))}^{2}$ 。

$- {(\sec (x) \cot (x))}^{2} + \csc^{2} (x) = 0$

解题步骤 4.1.6.2

将 $- {(\sec (x) \cot (x))}^{2}$ 和 $\csc^{2} (x)$ 重新排序。

$\csc^{2} (x) - {(\sec (x) \cot (x))}^{2} = 0$

解题步骤 4.1.7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \csc (x)$ 和 $b = \sec (x) \cot (x)$ 。

$(\csc (x) + \sec (x) \cot (x)) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

解题步骤 4.1.8

化简项。

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解题步骤 4.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.8.1.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 4.1.8.1.1.1

将 $\sec (x)$ 和 $\cot (x)$ 重新排序。

$(\csc (x) + \cot (x) \sec (x)) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

解题步骤 4.1.8.1.1.2

将 $\sec (x) \cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

解题步骤 4.1.8.1.1.3

约去公因数。

$(\csc (x) + \frac{1}{\sin (x)}) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

解题步骤 4.1.8.1.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$(\csc (x) + \csc (x)) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

解题步骤 4.1.8.2

将 $\csc (x)$ 和 $\csc (x)$ 相加。

$2 \csc (x) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

解题步骤 4.1.8.3

化简每一项。

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解题步骤 4.1.8.3.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 4.1.8.3.1.1

将 $\sec (x)$ 和 $\cot (x)$ 重新排序。

$2 \csc (x) (\csc (x) - (\cot (x) \sec (x))) = 0$

解题步骤 4.1.8.3.1.2

将 $- (\sec (x) \cot (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 \csc (x) (\csc (x) - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})) = 0$

解题步骤 4.1.8.3.1.3

约去公因数。

$2 \csc (x) (\csc (x) - \frac{1}{\sin (x)}) = 0$

解题步骤 4.1.8.3.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$2 \csc (x) (\csc (x) - \csc (x)) = 0$

解题步骤 4.1.8.4

从 $\csc (x)$ 中减去 $\csc (x)$ 。

$2 \csc (x) \cdot 0 = 0$

解题步骤 4.1.9

乘以 $2 \csc (x) \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.9.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$0 \csc (x) = 0$

解题步骤 4.1.9.2

将 $0$ 乘以 $\csc (x)$ 。

$0 = 0$

解题步骤 5

因为 $0 = 0$ ，所以方程将恒成立。

总为真

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