初级微积分示例

$\cos^{2} (x) - \cos (x) = 12$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $12$ 。

$\cos^{2} (x) - \cos (x) - 12 = 0$

解题步骤 2

使 $u = \cos (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\cos (x)$ 。

$u^{2} - u - 12 = 0$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $u^{2} - u - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $- 1$ 。

$- 4, 3$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 4) (u + 3) = 0$

解题步骤 4

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(\cos (x) - 4) (\cos (x) + 3) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) - 4 = 0$

$\cos (x) + 3 = 0$

解题步骤 6

将 $\cos (x) - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\cos (x) - 4$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) - 4 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) - 4 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$\cos (x) = 4$

解题步骤 6.2.2

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $4$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 7

最终解为使 $(\cos (x) - 4) (\cos (x) + 3) = 0$ 成立的所有值。

无解

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