初级微积分示例

$2 x^{2} - 2 x + 2 y^{2} - 6 y + 2 z^{2} - 4 z + 5$

解题步骤 1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2

将 $a = 2$ 、 $b = - 6$ 和 $c = 2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5))}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.3

运用分配律。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 (2 x^{2}) - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.4

化简。

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解题步骤 3.1.4.1

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.4.2

将 $- 2$ 乘以 $- 8$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.4.4

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.4.5

将 $- 8$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 40}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.5

从 $36$ 中减去 $40$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.6

从 $- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.1.6.1

从 $- 16 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.6.2

从 $16 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.6.3

从 $- 16 z^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.6.4

从 $32 z$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) - 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.6.5

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.6.6

从 $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.6.7

从 $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.6.8

从 $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.6.9

从 $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.7

将 $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ 重写为 $2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ 。

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解题步骤 3.1.7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$

解题步骤 3.3

化简 $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$ 。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

解题步骤 4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 (2 x^{2}) - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.4.2

将 $- 2$ 乘以 $- 8$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.4.4

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.4.5

将 $- 8$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 40}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.5

从 $36$ 中减去 $40$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.6

从 $- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 4.1.6.1

从 $- 16 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.6.2

从 $16 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.6.3

从 $- 16 z^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.6.4

从 $32 z$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) - 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.6.5

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.6.6

从 $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.6.7

从 $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.6.8

从 $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.6.9

从 $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.7

将 $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ 重写为 $2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ 。

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解题步骤 4.1.7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$

解题步骤 4.3

化简 $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$ 。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

解题步骤 4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

解题步骤 5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 (2 x^{2}) - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.4

化简。

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解题步骤 5.1.4.1

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.4.2

将 $- 2$ 乘以 $- 8$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.4.4

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.4.5

将 $- 8$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 40}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.5

从 $36$ 中减去 $40$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.6

从 $- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.1.6.1

从 $- 16 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.6.2

从 $16 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.6.3

从 $- 16 z^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.6.4

从 $32 z$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) - 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.6.5

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.6.6

从 $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.6.7

从 $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.6.8

从 $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.6.9

从 $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.7

将 $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ 重写为 $2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ 。

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解题步骤 5.1.7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$

解题步骤 5.3

化简 $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$ 。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

解题步骤 5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

解题步骤 6

最终答案为两个解的组合。

$y = \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

解题步骤 7

初级微积分 示例

初级微积分示例