初级微积分示例

$2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

化简 $2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12)$ 。

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解题步骤 2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \log_{4} (x + 4)$ 。

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) - \log_{4} (x + 12) = 1$

解题步骤 2.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{4} (\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}) = 1$

解题步骤 3

利用对数的定义将 $\log_{4} (\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$4^{1} = \frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}$

解题步骤 4

交叉相乘以去掉分数。

${(x + 4)}^{2} = 4 (x + 12)$

解题步骤 5

化简 $4 (x + 12)$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

${(x + 4)}^{2} = 4 x + 4 \cdot 12$

解题步骤 5.2

将 $4$ 乘以 $12$ 。

${(x + 4)}^{2} = 4 x + 48$

解题步骤 6

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.1

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

${(x + 4)}^{2} - 4 x = 48$

解题步骤 6.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1

将 ${(x + 4)}^{2}$ 重写为 $(x + 4) (x + 4)$ 。

$(x + 4) (x + 4) - 4 x = 48$

解题步骤 6.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 4) (x + 4)$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

运用分配律。

$x (x + 4) + 4 (x + 4) - 4 x = 48$

解题步骤 6.2.2.2

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4) - 4 x = 48$

解题步骤 6.2.2.3

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

解题步骤 6.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

解题步骤 6.2.3.1.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

解题步骤 6.2.3.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$x^{2} + 4 x + 4 x + 16 - 4 x = 48$

解题步骤 6.2.3.2

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$x^{2} + 8 x + 16 - 4 x = 48$

解题步骤 6.3

从 $8 x$ 中减去 $4 x$ 。

$x^{2} + 4 x + 16 = 48$

解题步骤 7

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.1

从等式两边同时减去 $16$ 。

$x^{2} + 4 x = 48 - 16$

解题步骤 7.2

从 $48$ 中减去 $16$ 。

$x^{2} + 4 x = 32$

解题步骤 8

从等式两边同时减去 $32$ 。

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

解题步骤 9

使用 AC 法来对 $x^{2} + 4 x - 32$ 进行因式分解。

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解题步骤 9.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 32$ ，和为 $4$ 。

$- 4, 8$

解题步骤 9.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 4) (x + 8) = 0$

解题步骤 10

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

解题步骤 11

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 11.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 12

将 $x + 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $x + 8$ 设为等于 $0$ 。

$x + 8 = 0$

解题步骤 12.2

从等式两边同时减去 $8$ 。

$x = - 8$

解题步骤 13

最终解为使 $(x - 4) (x + 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = 4, - 8$

解题步骤 14

排除不能使 $2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$ 成立的解。

$x = 4$

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